Interception de missiles et navigation proportionnelle

Un intercepteur en (22, 2) km volant à 1500 m/s, une cible en (5, 19) km volant à 900 m/s selon un cap de -14°, et l'intercepteur lancé directement le long de la ligne de visée. Avec un ratio de navigation N = 3, quelle accélération latérale la navigation proportionnelle exige-t-elle au tout premier instant — et pourquoi exige-t-elle quoi que ce soit, alors que le missile est déjà pointé exactement vers la cible ?

1. Soustrayez les deux positions : 17 km vers la gauche et 17 km vers le haut. La symétrie à 45° est une aubaine, car R² vaut exactement 578 et chaque étape ci-dessous divise par cette valeur.

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. La cible ne manœuvre pas dans cet engagement, son vecteur vitesse ne change donc jamais. Décomposez-le une fois et réutilisez-le.

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. L'intercepteur est lancé le long de la ligne de visée, son cap ψ₀ est donc également de 135°. Soustrayez les deux vitesses et vous obtenez le seul vecteur que la loi de guidage prend en compte.

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. La vitesse de rapprochement est la composante de la vitesse relative située le long de la ligne de visée, avec un signe inversé pour que le rapprochement soit compté positivement. Seule cette partie réduit la distance.

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. Ce qui reste de la vitesse relative est transversal à la ligne de visée, et c'est ce qui fait tourner le gisement. Divisez cette valeur par la distance pour obtenir la vitesse de rotation. Elle n'est pas nulle — ainsi, malgré la visée parfaite, ce n'est pas une route de collision.

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. La navigation proportionnelle multiplie ces deux mesures entre elles, applique le facteur N, et appelle le produit une accélération. Rien dans la loi ne sait où va la cible ; elle sait à quelle vitesse le gisement dérive et à quelle vitesse la distance se réduit, et c'est tout.

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. Obtenez maintenant cette même vitesse de rotation d'une seconde manière, sans aucun produit scalaire. Décomposez la vitesse propre de la cible perpendiculairement à la ligne de visée.

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. L'intercepteur n'apporte aucune contribution transversalement à la ligne de visée, puisqu'il a été lancé le long de celle-ci. La totalité des 463,5 m/s de dérive transversale provient de la cible, et la division par les 24 042 m de distance reproduit exactement l'étape 5.

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$