Simulateur de Physique Radar

Regardez une seule impulsion radar filer à la vitesse de la lumière, rebondir sur une cible et revenir — son temps donne la distance, sa puissance la détectabilité, son décalage de fréquence la vitesse.

Valeurs de départ — Simulateur de Physique Radar

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Diviser par deux la portée coûte une surface équivalente radar seize fois moindre 🖖

La puissance reçue décroît en 1/R⁴ — l'impulsion s'étale à l'aller et l'écho s'étale au retour — de sorte que la portée de détection varie comme la racine quatrième de la surface équivalente radar. Cette racine quatrième est brutale dans les deux sens. Les préréglages de SER de cet outil vont de 0,01 m² pour un avion furtif à 1000 m² pour un navire, un écart de 100 000, et pourtant les portées obtenues ne diffèrent que de 100000^¼ ≈ 17,8. Face au chasseur de 5 m², une conception furtive réduit la surface d'un facteur 500 et n'achète qu'une réduction de portée de 500^¼ ≈ 4,7. Chaque nouvelle division par deux de la distance à laquelle on vous voit coûte encore un facteur seize.

Un écho, trois réponses 🖖

Le radar émet une seule impulsion d'ondes radio et lit l'écho de retour de trois façons à la fois. Le délai avant son retour donne la distance (R = c·Δt/2, divisée par deux car l'impulsion fait un aller-retour) ; la force de l'écho indique si la cible est seulement détectable ; et tout décalage de sa fréquence révèle à quelle vitesse la cible s'approche ou s'éloigne. À retenir : la lumière est si rapide qu'une cible à 150 km répond en moins d'une milliseconde.

Comment un avion peut disparaître à la bonne vitesse 🖖

Le radar MTI (visualisation des cibles mobiles) rejette le fouillis du sol en ignorant les échos dont la fréquence ne change pas d'une impulsion à l'autre. Mais une cible volant à une vitesse aveugle — où son décalage Doppler tombe sur un multiple exact de la PRF — paraît figée entre les impulsions et se retrouve filtrée avec les collines. Ces vitesses suivent v = n·λ·PRF/2 ; avec λ = 0.1 m et PRF = 1000 Hz, la première vaut 50 m/s. Les vrais radars font varier leur PRF pour combler ces trous.

Problèmes entièrement résolus

Un chasseur à 90 km avec une surface équivalente radar de 5 m² 7 étapes
Un chasseur situé à 90 km, avec une surface équivalente radar de 5 m². L'appareil émet 100 kW à 3 GHz à travers une antenne de gain 1000, et son récepteur signale une détection à -120 dBm. Calculez la puissance reçue en retour, puis la portée maximale de ce radar si la cible continuait à s'éloigner.
1. L'impulsion parcourt la distance deux fois, de sorte que l'horloge mesure un trajet de 180 km, et non de 90. Divisez par deux avant de diviser par c, sinon chaque portée annoncée sera doublée : 600 µs ici.
  
  $Δ t = \frac{2 R}{c} = \frac{2 \times 9 \times 1 0 ^{4}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 6 \times 1 0^{- 4} s = 600 μ s$
2. La fréquence fixe la longueur d'onde, et la longueur d'onde intervient à deux titres — elle détermine la sensibilité Doppler et fixe la fraction de l'onde en retour que la parabole peut capter. À 3 GHz, λ = 0,1 m.
  
  $λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 0.1 m$
3. Voici maintenant la partie qui rend le radar complexe. À l'aller, la puissance se disperse sur une sphère, si bien que la densité arrivant sur la cible décroît en 1/R². La cible en intercepte une fraction σ et la réémet, et cette puissance réémise se disperse elle aussi sur une sphère — un second facteur 1/R² indépendant. L'antenne capte ensuite cette puissance sur une surface efficace A_e = Gλ²/4π.
  
  $S_{t} = \frac{P _{t} G}{4 π R ^{2}}, S_{r} = \frac{S _{t} σ}{4 π R ^{2}}, A_{e} = \frac{G λ ^{2}}{4 π}$
4. Multipliez ces trois termes et les facteurs R² se combinent au carré. La puissance reçue décroît en R⁻⁴, si bien qu'un écho radar n'est pas simplement faible, mais catastrophiquement faible : doublez la portée et l'écho chute d'un facteur 16, et non de 4.
  
  $P_{r} = S_{r} A_{e} = \frac{P _{t} G ^{2} λ ^{2} σ}{( 4 π ) ^{3} R ^{4}}$
5. Injectons les valeurs numériques. Le numérateur vaut 5×10⁹ ; le dénominateur est (4π)³ = 1984 multiplié par R⁴ = 6,56×10¹⁹, soit 1,30×10²³. L'écho est de 3,84×10⁻¹⁴ W. Cela représente 38 femtowatts en retour pour un émetteur de 100 kW, et le rapport entre ces deux grandeurs constitue tout le problème.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 5}{1984 \times ( 9 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{5 \times 1 0 ^{9}}{1.30 \times 1 0 ^{23}} = 3.84 \times 1 0^{- 14} W$
6. Les puissances radar s'étendent sur 20 ordres de grandeur, elles sont donc exprimées en dB par rapport au milliwatt. 3,84×10⁻¹⁴ W correspond à -104 dBm, ce qui est largement au-dessus des -120 dBm requis par le récepteur.
  
  $10 lo g_{10} (\frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 3}}) = 10 lo g_{10} (3.84 \times 1 0^{- 11}) = - 104 dBm$
7. Cette marge se traduit en portée, mais sans générosité. En watts, l'écho vaut 38,4 fois le seuil, et la puissance variant en R⁻⁴, la portée ne peut augmenter que selon la racine quatrième de 38,4. Soit 2,489, et 90 km × 2,489 = 224 km.
  
  $\frac{P _{r}}{P _{m i n}} = \frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 15}} = 38.4 ⟹ R_{m a x} = 90 \times 38. 4^{1/4} = 90 \times 2.489 = 224 km$
Réponse

224 km — et il a fallu un écho 38 fois plus puissant que le seuil du récepteur pour l'atteindre. Une seconde limite se cache derrière ce nombre, et rien sur le panneau ne l'affiche. Un écho provenant de 224 km met 2 × 224 km / c = 1,49 ms à revenir. Émettez l'impulsion suivante plus tôt et cet écho tardif arrivera alors qu'une nouvelle impulsion sera déjà partie ; l'appareil ne pourra pas déterminer à quelle impulsion il appartient et affichera une cible située à 224 km comme étant proche. Ainsi, la portée de détection que vous venez de calculer fixe un plafond pour la fréquence de récurrence des impulsions d'environ 670 Hz. La distance à laquelle un radar peut voir et la fréquence à laquelle il peut observer sont liées par la seule vitesse de la lumière, et aucune puissance d'émission n'y changera rien.

$\frac{2 R _{m a x}}{c} = 1.49 ms ⟹ PRF < \frac{1}{1.49 ms} = 670 Hz$
Une cible avec σ = 0,01 m² à 70 km 5 étapes
Le même radar, toujours 100 kW à 3 GHz, observe à présent une cible avec σ = 0,01 m² à 70 km. C'est une surface équivalente radar 500 fois plus faible que celle du chasseur, et elle est 20 km plus proche. Calculez l'écho, puis déterminez à quelle distance elle devrait s'approcher pour être décelée.
1. Un seul facteur du numérateur a changé : 10⁵ × 10⁶ × 10⁻² × 10⁻² = 10⁷. Avec R⁴ à 70 km donnant un dénominateur de 4,76×10²², l'écho est de 2,1×10⁻¹⁶ W — 0,21 femtowatt.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 2}}{1984 \times ( 7 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{1 0 ^{7}}{4.76 \times 1 0 ^{22}} = 2.1 \times 1 0^{- 16} W$
2. Remarquez le déséquilibre entre ces deux modifications. Se rapprocher de 90 km à 70 km multiplie l'écho par (90/70)⁴ = 2,73 ; la surface équivalente radar le divise par 500. Le gain géométrique est totalement submergé.
  
  $(\frac{90}{70})^{4} = 2.73 ≪ \frac{5}{0.01} = 500$
3. En dBm, cela donne -127, par rapport à un seuil de récepteur de -120. L'écho est sous le seuil, si bien qu'à 70 km cette cible n'existe pas pour l'appareil.
  
  $10 lo g_{10} (2.1 \times 1 0^{- 13}) = - 127 dBm < - 120 dBm$
4. La portée est la seule variable restante. En watts, il manque à l'écho un facteur 10⁻¹⁵ / 2,1×10⁻¹⁶ = 4,76, et comme il croît en R⁻⁴, la portée doit diminuer selon la racine quatrième de 4,76 — soit un facteur 1,477. 70 km / 1,477 = 47,4 km.
  
  $\frac{P _{m i n}}{P _{r}} = \frac{1 0 ^{- 15}}{2.1 \times 1 0 ^{- 16}} = 4.76 ⟹ R = \frac{70}{4.7 6 ^{1/4}} = \frac{70}{1.477} = 47.4 km$
5. Obtenez ce même résultat par l'autre bout, en partant des 224 km du chasseur. La portée de détection varie comme σ à la puissance 1/4, donc diviser σ par 500 divise la portée par 500 à la puissance 1/4, ce qui donne 4,73. 224 / 4,73 = 47,4 km. Une même loi, lue dans les deux sens.
  
  $R_{m a x} \propto σ^{1/4} : \frac{224}{50 0 ^{1/4}} = \frac{224}{4.73} = 47.4 km$
Réponse

Réduire la surface équivalente radar d'un facteur 500 réduit la portée de détection d'un facteur 4,73, et cette racine quatrième résume toute l'économie de la faible observabilité. Cela chiffre également l'alternative. Pour détecter à nouveau cette cible à 224 km uniquement par la puissance, il faut rétablir le produit P_tσ : σ a été divisé par 500, P_t doit donc être multiplié par 500 — passant de 100 kW à 50 MW. C'est l'argument en faveur du profilage de la cible plutôt que de l'agrandissement du radar. L'exposant pénalise cependant le concepteur au même rythme : chaque nouvelle division par deux de la portée de détection coûte un facteur 16 supplémentaire sur σ.

$R_{m a x} \propto (P_{t} σ)^{1/4} ⟹ P_{t} \to 500 \times 100 kW = 50 MW$

Références (2)

The radar range equation and the R⁴ two-way loss: M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., ch. 1–2. McGraw-Hill, 2001. ISBN 978-0-07-288138-7.
MTI, blind speeds and PRF staggering, behind the third block: M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., ch. 5. McGraw-Hill, 2014. ISBN 978-0-07-179832-7.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-17

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Exemples de problèmes

Télémétrie
Le mur en R⁴
Furtivité - Furtivité SER=0.01 m² à 120 km — portée de détection de seulement 47 km
Doppler