Échantillonnage de signal et théorème de Nyquist

Démontrez à partir de zéro la règle des 6 dB par bit pour un convertisseur 8 bits — d'où vient le 1,76 isolé ? — puis indiquez ce qu'elle ne promet pas.

1. L'arrondi au niveau le plus proche laisse une erreur inférieure ou égale à un demi-pas, et sur un signal complexe, cette erreur est répartie uniformément sur l'intervalle. Sa variance est l'intégrale de e² sur une distribution uniforme.

   $$\Delta =\frac{V_{FS}}{2^N},e\sim \mathcal{U}\left(-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right),{\sigma }_e^2=\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}{e}^{2}de=\frac{{\Delta }^2}{12}$$

2. Le signal de référence est une sinusoïde occupant toute la plage d'entrée, sa puissance est donc égale à la moitié du carré de son amplitude.

   $$P_{\text{sig}}=\frac{(V_{FS}/2{)}^2}{2}=\frac{V_{FS}^2}{8}$$

3. Divisez les deux. La plage pleine échelle s'annule, ce qui explique pourquoi le résultat est uniquement fonction du nombre de bits et non de la tension.

   $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{FS}^2/8}{{\Delta }^2/12}=\frac{12}{8}{\left(\frac{V_{FS}}{\Delta }\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}$$

4. Passez aux logarithmes. Le 6,02 provient de 20 log₁₀2 — un bit supplémentaire double le nombre de niveaux — et le 1,76 est le 3/2 restant de la ligne précédente.

   $$\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\frac{3}{2}+20N{\log }_{10}2=1.76+6.02N$$

5. Évaluez à 8 bits, puis à 16. Chaque bit supplémentaire apporte un peu plus de 6 dB, ainsi les huit bits supplémentaires de l'audio CD procurent 48 dB.

   $$N=8:6.02(8)+1.76=49.92\mathrm{dB};N=16:98.08\mathrm{dB}$$