Labo Abaque de Smith & Magie Noire RF

Placez n'importe quelle impédance sur l'abaque de Smith en saisissant Z_L, puis faites-la glisser pour voir comment Γ, le VSWR et la perte de retour évoluent en temps réel. Ajoutez des composants L et C en série/parallèle pour construire un réseau d'adaptation et regardez l'impédance tracer un chemin vers le centre — la « magie » du design RF rendue visible.

Exemple résolu — Labo Abaque de Smith & Magie Noire RF

Perte de désadaptation	0.345 dB
Puissance transmise	92.4%
z (normalisé)	0.720−j0.400
y (normalisé)	1.061+j0.590

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Labo Abaque de Smith & Magie Noire RF

L’abaque de Smith est l’image d’un seul nombre complexe. Γ = (Z_L − Z_0)/(Z_L + Z_0) replie toutes les charges possibles dans un disque de rayon un, si bien que la position du point est la réponse. Les cinq lignes en dessous ne sont pas cinq mesures. Elles sont ce nombre unique, écrit de cinq façons.

Ce que signifie chaque symbole

Γ: le coefficient de réflexion — la fraction de l’onde incidente qui revient, avec un module et un angle. Tout le reste en découle.
VSWR: (1+|Γ|)/(1−|Γ|). Va de 1 à l’adaptation parfaite jusqu’à l’infini à la réflexion totale : il dilate le mauvais bout de la plage et comprime le bon.
RL: l’affaiblissement de réflexion, −20 log₁₀|Γ|, en décibels. La même grandeur retournée : plus grand vaut mieux, et une adaptation parfaite est infinie.
y: l’admittance normalisée 1/z. Elle figure dans l’affichage parce que les éléments en parallèle s’ajoutent à l’admittance, les éléments en série à l’impédance.

D’où vient la formule

Tout part d’une seule mesure. 36 − j20 Ω dans un système à 50 Ω donne Γ = 0.276 ∠ −111.9°. Rien d’autre n’est mesuré sur la page ; le reste est du calcul.
Le module seul alimente quatre lignes. 0.276 donne un VSWR de 1.76, un affaiblissement de réflexion de 11.17 dB, une perte par désadaptation de 0.345 dB et 92.4% de puissance délivrée. L’angle −111.9° n’apparaît dans aucune.
L’angle a donc exactement une fonction : dire où vous êtes sur le cercle, et donc quoi ajouter. Les deux lignes normalisées sont la monnaie d’échange — z = 0.720 − j0.400 pour les éléments en série, qui changent l’impédance, et y = 1.061 + j0.590 pour ceux en parallèle, qui changent l’admittance.
L’adaptation automatique résout cette géométrie. Elle choisit une inductance série de +j42.45 Ω — 7.38 nH à 915 MHz — puis un condensateur parallèle de +j12.5 mS, soit 2.17 pF, et l’affichage tombe à |Γ| = 0.000.

Comment lire ce que vous voyez

Mettez les exemples côte à côte et regardez les cinq noms se contredire. L’antenne 915 MHz est à un VSWR de 1.76, ce qui sonne comme un problème, et délivre 92.4% de sa puissance, ce qui n’en est pas un. L’entrée d’amplificateur 2.4 GHz affiche un VSWR de 4.56 et 59.0%. Le court-circuit affiche un VSWR de 5000 et 0.1%. Le VSWR a parcouru trois ordres de grandeur pendant que la puissance délivrée passait de presque tout, à une partie, à rien — parce que le VSWR a l’infini à un bout et qu’un pourcentage ne l’a pas. Lues en décibels, ces trois mêmes charges coûtent 0.345, 2.293 et 30.971 dB : voilà l’échelle qui se tient.

Suppose: Que les éléments d’adaptation sont sans pertes, qu’une seule fréquence compte, et qu’un composant est assez petit pour n’avoir aucune longueur. Le nomogramme vérifie ce dernier point et vous prévient quand il lâche : à 915 MHz une longueur d’onde vaut 327.6 mm, donc une piste de 10 mm en fait 3.05% et le modèle à constantes localisées tient. Portez ces mêmes 10 mm à 2.4 GHz et cela devient 8.0%, et l’avertissement sur la limite λ/10 apparaît. L’hypothèse de fréquence unique, elle, n’est jamais vérifiée : un réseau en L est résolu à la fréquence de conception et rien ici ne montre à quelle vitesse il se dégrade de part et d’autre.
Ne tient plus quand: Une perte par désadaptation de 0.345 dB n’est, en soi, rien du tout. Aucun bilan de liaison ne remarque un tiers de décibel, et 92.4% délivrés est un bon chiffre. Pourtant la page prévient aussi qu’un tel rapport d’ondes stationnaires peut endommager l’étage de sortie d’un émetteur, et cet avertissement n’est pas exagéré. Les deux énoncés répondent à des questions différentes. La perte par désadaptation demande combien de puissance n’arrive pas. Le danger demande où va l’onde réfléchie — elle redescend la ligne jusque dans l’amplificateur, en chaleur pour laquelle il n’a pas été dimensionné et en maximum de tension quelque part sur le câble pour lequel l’isolant n’a pas été qualifié. Une charge peut ne presque rien gaspiller et rester ce qui détruit la radio. C’est pourquoi les pièces RF sont spécifiées en VSWR et en affaiblissement de réflexion plutôt qu’en pourcentage délivré : le pourcentage répond à la question dont personne ne s’inquiétait.

Un demi-plan infini replié dans un seul cercle 🖖

L'abaque de Smith est une carte conforme qui traduit l'impédance de charge complexe Z_L en coefficient de réflexion complexe Γ sur un cercle unité : Γ = (z - 1)/(z + 1). Développé par Phillip Smith en 1939, il résout graphiquement les équations des lignes de transmission. L'abaque convertit les coordonnées d'impédance rectangulaires infinies en une région circulaire. Les composants modifient l'impédance le long de ces cercles de résistance constante et arcs de réactance. En ajoutant des éléments, les concepteurs guident toute impédance vers le centre (50 Ω) pour éliminer les réflexions.

Lire l'abaque comme une cible 🖖

Tout l'abaque de Smith est en réalité une cible. Où que tombe la charge, seule compte la distance entre le point et le centre exact. Pile au centre, la source et la charge s'accordent parfaitement et aucun signal ne revient. Plus le point s'éloigne vers le bord, plus la puissance est réfléchie vers l'émetteur au lieu d'atteindre l'antenne, et c'est précisément ce que chiffrent le VSWR et la perte de retour. En bref : bien concevoir, c'est simplement "ramener le point au milieu".

Inventé trois fois, sur trois continents 🖖

On l'attribue souvent au seul Phillip Smith, mais le même abaque fondé sur la transformation (z − 1)/(z + 1) a été conçu indépendamment trois fois dans les années 1930. Tōsaku Mizuhashi a publié sa version au Japon en décembre 1937, et Amiel Volpert a présenté la sienne en Union soviétique en 1939 — la même année que Smith. Les ingénieurs russes l'appellent encore l'abaque de Volpert-Smith, et les historiens créditent parfois les trois sous le nom d'abaque de Mizuhashi-Volpert-Smith.

Problème entièrement résolu

Une antenne de 915 MHz désadaptée sur une ligne de 50 Ω 6 étapes
Une antenne à 915 MHz est mesurée à 36 − j20 Ω sur une ligne de 50 Ω. Calculez l'importance de sa désadaptation, puis concevez le réseau à deux composants qui la corrige — et déterminez à quel point cette adaptation est étroite.
1. Normalisez. Chaque règle sur l'abaque est rédigée en unités de Z₀, et l'admittance n'est que l'inverse — vous avez besoin des deux car les éléments en série s'ajoutent à l'impédance et les éléments en dérivation s'ajoutent à l'admittance.
  
  $z = \frac{Z _{L}}{Z _{0}} = \frac{36 - j 20}{50} = 0.720 - j 0.400, y = \frac{1}{z} = 1.061 + j 0.590$
2. Le coefficient de réflexion est l'application bilinéaire qui fait de l'abaque ce qu'il est. Multipliez par le conjugué du dénominateur ; le module est ce dont la ligne suivante a besoin.
  
  $Γ = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{- 0.280 - j 0.400}{1.720 - j 0.400} = - 0.1031 - j 0.2565, ∣Γ∣ = 0.276$
3. Trois des lignes du panneau représentent le même nombre sous des apparences différentes. Seule la magnitude de Γ intervient dans chacune d'elles — l'angle ne contribue absolument en rien, ce qui est précisément la raison pour laquelle il est libre de porter l'autre moitié de l'information.
  
  $P_{del} = 1 - ∣Γ ∣^{2} = 0.924, ML = - 10 lo g_{10} 0.924 = 0.345 dB, VSWR = \frac{1.276}{0.724} = 1.76$
4. C'est ici que l'angle montre toute son utilité. Une réactance en série modifie la partie imaginaire de l'impédance sans toucher à la partie réelle ; choisissez donc la valeur qui rend la partie réelle de l'admittance résultante égale à 1/50 — une équation du second degré, deux racines, et celle-ci est la racine positive.
  
  $ℜ {\frac{1}{36 + j ( X - 20 )}} = \frac{1}{50} \Rightarrow 3 6^{2} + (X - 20)^{2} = 1800 \Rightarrow X = + 42.45 Ω$
5. La susceptance restante est annulée par un élément en dérivation de signe opposé. Convertissez les deux en composants à 915 MHz et le réseau est terminé.
  
  $B = \frac{X - 20}{1800} = 12.47 mS; L = \frac{X}{2 π f} = 7.38 nH, C = \frac{B}{2 π f} = 2.17 pF$
6. Enfin, demandez-vous à quel point l'ensemble est fragile. Le Q du nœud d'un réseau en L ne dépend que des deux résistances qu'il relie.
  
  $Q_{node} = \frac{Z _{0}}{R _{L}} - 1 = \frac{50}{36} - 1 = 0.62$
Réponse

Une inductance en série de 7,38 nH suivie d'un condensateur en dérivation de 2,17 pF, et la réflexion s'annule. La dernière ligne est celle qu'il faut retenir. Le Q du nœud de cette adaptation vaut 0,62, ce qui est faible, et une adaptation à faible Q est à large bande : maintenez la charge fixe, faites varier la fréquence de ±10 %, et le VSWR ne monte que de 1,00 à environ 1,12. « Les réseaux en L sont à bande étroite » est une demi-vérité — la largeur de bande est fixée par la distance sur laquelle la transformation doit déplacer la résistance, non par la topologie. Adapter 5 Ω à 50 Ω nécessite Q = 3 et est vraiment fragile ; adapter 36 à 50 s'en aperçoit à peine.

$series L = 7.38 nH, then shunt C = 2.17 pF \Rightarrow Γ = 0$

Références (3)

The chart as its usual namesake published it: P. H. Smith, "Transmission Line Calculator." Electronics 12(1), 29–31, January 1939.
And the book in which he set out what to do with it: P. H. Smith, Electronic Applications of the Smith Chart, 2nd edition. Institution of Engineering and Technology, 1995. ISBN 978-1-884932-39-7.
The standard treatment of the conversions between Γ, VSWR and return loss: D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th edition. Wiley, 2011 — chapter 2, on transmission lines and the reflection coefficient. ISBN 978-0-470-63155-3.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-22

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Exemples de problèmes

Antenne 915 MHz - Adaptation d'antenne 915 MHz — antenne typique nécessitant une adaptation par réseau en L
LNA 2.4 GHz - Entrée LNA 2.4 GHz — loin de 50 Ω, nécessite une adaptation
Adaptation parfaite - Adaptation parfaite 50 Ω : Γ = 0, VSWR = 1
Court-circuit - Court-circuit : Γ = −1, VSWR = ∞
Circuit ouvert - Circuit ouvert : Γ = +1, VSWR = ∞