Le billard de Bayes — La bille jetée par-dessus l'épaule

Observez une loi a priori non observée devenir une courbe bêta a posteriori, à mesure que les classements sont annoncés.

Exemple résolu — Le billard de Bayes — La bille jetée par-dessus l'épaule

Lancers effectués	0
Signalés à gauche / à droite	0 ← / 0 →
Moyenne a posteriori	0,5000
Quantile 2,5 %	0,0250
Quantile 97,5 %	0,9750
Largeur de l'intervalle à 95 %	0,9500
Lancers requis pour ±5 %	385

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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des rapports de position sans mesure suffisent 🖖

Vous ne voyez jamais où la première bille est tombée, et les billes suivantes indiquent seulement si elles sont tombées à gauche ou à droite. Aucune distance n'est mesurée. Pourtant, un seul rapport 'à gauche' fait passer la croyance de 50/50 à 0,7500. La preuve s'accumule par le seul ordre.

la précision coûte quatre fois plus cher que prévu 🖖

Pour ramener l’intervalle de crédibilité à 95 % à ±5 points de pourcentage (largeur 0,10), il faut 381 lancers si les haricots se répartissent également et si l’intervalle est calculé exactement. Doubler cette précision pour atteindre ±2,5 points (largeur 0,05) en exige 1 534, soit un rapport de 4,03. La précision varie comme 1/√n : diviser la largeur par deux demande donc quatre fois plus de données. Le panneau utilise une approximation normale pour ses prévisions et indique 385 pour le premier de ces seuils.

la loi a priori uniforme est ici un fait physique 🖖

Dans l'expérience de pensée de Thomas Bayes, la première bille a réellement été lancée à l'aveugle sur une table plane, faisant de la loi uniforme un fait matériel. Dans le dépistage médical, la prévalence joue le même rôle mais constitue une estimation à justifier.

Problèmes entièrement résolus

Un haricot, un signalement « à gauche » et quatre bonnes réponses différentes 8 étapes
Lancez un seul haricot : il tombe à gauche du marqueur caché. Le panneau indique 0,6667. Le premier bloc d'analyse de cette page indique 0,7500. La réponse que la plupart des gens donnent à voix haute est 1, car un lancer sur un est tombé à gauche. Ces trois réponses sont correctes. À quelle question répond chacune d'elles ?
1. D'abord le dispositif, car c'est la raison pour laquelle cette expérience de pensée particulière est célèbre. Un marqueur est placé à l'aveugle sur une table plane à une position inconnue p, et chaque haricot lancé ultérieurement tombe à sa gauche avec une probabilité p. Rien n'est jamais mesuré ; chaque haricot fournit un bit d'information. Richard Price a lu l'essai devant la Royal Society en décembre 1763, deux ans après la mort de Bayes, et la loi a priori uniforme sur p est un fait physique lié à la façon dont le marqueur a été lancé, plutôt qu'un choix de modélisation. C'est plus rare qu'il n'y paraît, et le troisième bloc d'analyse de cette page traite de la rareté d'une telle situation ailleurs.
  
  $p \sim Uniform (0, 1), π (p) = 1 for 0 \leq p \leq 1$
2. Les observations. Obtenir k résultats à gauche sur n lancers a pour probabilité p^k(1−p)^n−k, multipliée par un coefficient binomial qui ne dépend aucunement de p. On multiplie par la loi a priori uniforme, puis on renormalise, et le coefficient s'élimine par simplification.
  
  $π (p ∣ k, n) \propto p^{k} (1 - p)^{n - k} \cdot 1$
3. Il reste une loi bêta dont les deux paramètres valent ces exposants augmentés de un. Un lancer à gauche sur un donne une loi bêta(2, 1), représentée par une droite : nulle au bord gauche, elle monte jusqu’à 2 au bord droit.
  
  $p ∣ k, n \sim Beta (k + 1, n - k + 1) = Beta (2, 1), π (p) = 2 p$
4. Première question : où le marqueur a-t-il le plus de chances de se trouver ? La densité 2p est maximale au bord droit, de sorte que le mode est p = 1. La réponse spontanée k/n = 1 parvient au même résultat par un chemin différent, et toutes deux répondent à une question que personne n'a posée.
  
  $ar g p max 2 p = 1$
5. Deuxième question : le marqueur se trouve-t-il au-delà de la moitié ? Il s'agit d'une aire, il faut donc intégrer. La fonction de répartition de Beta(2, 1) est p², de sorte que la masse au-dessus d'un demi est 1 − ¼. C'est le 0,7500 du premier bloc d'analyse.
  
  $P (p > \frac{1}{2}) = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} = 0.7500$
6. Troisième question : le prochain haricot tombera-t-il à gauche ? Celle-ci ne concerne pas du tout l'emplacement de p — elle concerne ce qui va se passer ensuite, et elle calcule la moyenne de p sur l'ensemble de ce que vous croyez désormais au sujet de p. Cette moyenne est la moyenne a posteriori.
  
  $P (next left) = \int_{0}^{1} p \cdot π (p) d p = \frac{k + 1}{n + 2}$
7. Avec n = 1 et k = 1, la moyenne est égale à deux tiers. Laplace a dérivé ce résultat dans un mémoire de 1774 et on l'appelle depuis lors la règle de succession. Les +1 et +2 ne sont pas un ajustement ad hoc pour de petits échantillons ; ils sont ce qu'on obtient en intégrant par rapport à une loi a priori uniforme.
  
  $\frac{k + 1}{n + 2} = \frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} = 0.6667$
8. Il existe un quatrième nombre, que l’outil n’affiche nulle part. La médiane vaut 1/√2 ; elle se situe entre la moyenne et le mode, dans cet ordre. Toute loi a posteriori produite par cet outil est une loi bêta. Lorsqu’elle penche vers la droite, ses trois valeurs centrales se rangent exactement ainsi, puis leurs écarts diminuent à mesure que les données concentrent la courbe. Équilibrez les lancers : toutes trois finissent par se confondre.
  
  $mode 1 > median \frac{1}{2} = 0.7071 > mean \frac{2}{3} = 0.6667$
Réponse

Ces trois réponses sont justes, mais chacune correspond à une question différente. 1 indique la position la plus probable du repère. 0,7500 est la probabilité qu’il se trouve au-delà du milieu. 0,6667 est la probabilité que le prochain haricot tombe à gauche. C’est cette dernière que le panneau affiche dans la carte principale, car elle seule renseigne sur le lancer suivant. L’intervalle à 95 % va de 0,1581 à 0,9874 : un seul résultat ne l’a presque pas resserré, et le panneau estime qu’il faudra encore 341 lancers pour obtenir une largeur de ±5 points.

Laplace a poussé cette même formule jusqu’à ses dernières conséquences. Dans son Essai philosophique sur les probabilités de 1814, il prend n = 1 826 213, soit cinq mille ans de levers de soleil consignés, et obtient une probabilité de 1 sur 1 826 215 que le soleil ne se lève pas le lendemain. On s’en moque depuis, le plus souvent sans avoir lu la suite. Dans le même passage, Laplace précise que ce nombre vaut pour une personne qui ignore tout du mécanisme régissant la succession des jours ; quiconque connaît ce mécanisme doit attribuer au prochain lever du soleil une probabilité bien supérieure. Cette réserve, c’est l’étape 1 formulée par l’inventeur même du calcul.
Ce que les 95 % de l'intervalle promettent vraiment 6 étapes
Lancez le préréglage à 400 lancers. Le panneau situe le marqueur entre 0,4512 et 0,5488 avec une crédibilité de 95 %, et le marqueur se trouve réellement à 0,4913. Montrez que les 95 % sont exacts et non approchés, puis calculez ce qu'il en reste si la table n'est pas plane.
1. Recomptez les billes, y compris celle que personne ne regarde. Le marqueur a été lancé à l'aveugle sur la table, et les 400 suivantes aussi ; les 401 sont parties de la même épaule vers la même surface plane. Rien de statistique ne distingue le marqueur d'un lancer. Il a seulement un nom.
  
  $p, x_{1}, \dots, x_{400} \sim iid Uniform (0, 1) (401 draws, one labelled)$
2. Prenez donc les 401 positions et triez-les. Le marqueur a autant de chances d'être le premier, le septième ou le dernier, car une étiquette ne peut pas changer un rang, et le nombre que le panneau appelle k n'est que son rang moins un. Chaque décompte à gauche que l'outil peut afficher, les 401 de 0 à 400, a pour probabilité 1/401. Ce n'est pas à cela que ressemble un décompte de piles ou faces, et l'intégrale le confirme : le coefficient binomial se simplifie contre la fonction bêta, et n disparaît sauf sous la forme n + 1.
  
  $P (k = j) = \int_{0}^{1} (j n) p^{j} (1 - p)^{n - j} d p = (j n) B (j + 1, n - j + 1) = \frac{1}{n + 1}$
3. La même symétrie règle l'intervalle. Introduisez la vraie position du marqueur dans sa propre fonction de répartition a posteriori et le résultat est uniforme sur l'intervalle unité — c'est précisément ce que signifie, pour une loi a posteriori, être l'honnête loi conditionnelle de p. La probabilité que la vérité tombe entre les quantiles 2,5 % et 97,5 % vaut donc 0,95, et il n'y a d'approximation nulle part dans cette phrase. Simuler dix lancers cent mille fois donne 0,94967.
  
  $U = I_{p} (k + 1, n - k + 1) \sim Uniform (0, 1) ⟹ P (0.025 < U < 0.975) = 0.95$
4. Cela vaut à toute taille d'échantillon, et c'est la partie sur laquelle il faut s'arrêter. L'intervalle à 400 lancers mesure 0,0976 de large et le marqueur s'y tient confortablement. L'intervalle à un lancer va de 0,1581 à 0,9874, ce qui n'exclut presque rien, et il est exactement aussi valide. Être inutile et être faux sont deux échecs différents.
  
  $n = 400 : [0.4512, 0.5488], width 0.0976; n = 1 : [0.1581, 0.9874]$
5. Cassez maintenant la seule chose sur laquelle il repose. Supposez la table non pas plane mais bombée, de sorte que le marqueur tende à rouler vers une bande, tandis que le panneau continue de calculer à partir d'une loi a priori uniforme. Intégrez la couverture sur cette vraie distribution et l'étiquette 95 % ne vaut plus que 68,7 % après un lancer, 78,7 % après dix, 87,1 % après cent.
  
  $p \sim Beta (0.3, 0.3), interval still from π (p) = 1 : 0.687, 0.787, 0.871 (n = 1, 10, 100)$
6. Notez dans quel sens elle a échoué, et avec quelle lenteur les données l'ont réparée. Cent fois plus de données a comblé un peu plus de la moitié de l'écart. Et une table bombée dans l'autre sens, qui rassemble le marqueur vers le milieu, laisse au contraire l'intervalle trop large : 99,9 %, 95,8 %, 95,1 %. Ce sont les bords qui font mal, car c'est là qu'une loi a priori uniforme est la plus assurée et la plus fausse.
  
  $p \sim Beta (6, 6) : 0.999, 0.958, 0.951$
Réponse

Exactement 95 %, à tout n, pour la raison qu'indique le troisième bloc d'analyse : ici la loi a priori uniforme est un fait sur le lancer et non un choix de modélisation. C'est une chose rare à pouvoir affirmer, et cela fait de ce cas le seul endroit où un intervalle bayésien et un intervalle de confiance fréquentiste sont un même objet plutôt que deux choses qui s'accordent d'ordinaire.

Le 1/401 est la moitié la plus nette de cette même symétrie, et c'est la ligne à retenir. Avant qu'une seule bille ne soit lancée, chaque décompte à gauche possible est également probable : la loi a priori plate ne se contente pas d'être sous le calcul, elle aplatit aussi les données. Voilà pourquoi le +1 et le +2 de la règle de succession sont exacts et non une rustine pour petits échantillons.

Reste la question à laquelle la table ne peut répondre pour rien d'autre. La prévalence dans un programme de dépistage, le taux de base d'une panne rare, la proportion d'une population portant un trait : chacune joue le rôle structurel de p, et aucune n'a été lancée à l'aveugle sur quoi que ce soit. Trompez-vous sur cette distribution aux bords et les 95 % imprimés en valent 69, et aucune quantité d'échantillonnage supplémentaire à votre portée ne vous le dira, puisque cent lancers n'ont récupéré que la moitié de ce qu'une table bombée avait coûté.

$π (p) \equiv 1 ⟹ coverage = 0.95 \forall n; Beta (0.3, 0.3) : 0.95 - 0.687 = 0.263 \to 0.079 (n : 1 \to 100)$

Parcours

Les probabilités a priori et leur origine

Mène à Biosignatures un a priori uniforme qui n'a pas été postulé.

Références (2)

Bayes' original paper presenting the billiard thought experiment and uniform prior formulation: T. Bayes, "LII. An essay towards solving a problem in the doctrine of chances." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 370–418, 1763.
The 1958 Biometrika reprint accessible to modern readers: T. Bayes, "An essay towards solving a problem in the doctrine of chances." Biometrika, 45(3–4):296–315, 1958.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-09-03

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Exemples de problèmes

1er lancer - 1 lancer à gauche : P(première bille dans la moitié droite) passe de 50/50 à 0,7500.
10 lancers - 10 lancers, 5 à gauche : la largeur de l'intervalle de crédibilité à 95 % se réduit à 0,5324.
100 lancers - 100 lancers, 50 à gauche : la largeur de l'intervalle de crédibilité à 95 % se réduit à 0,1927.
400 lancers (±5 %) - 400 lancers, 200 à gauche : la largeur de l'intervalle atteint 0,0976 (±5 points de pourcentage).