Détecteur de déjà-vu

les flux aléatoires peuvent sembler étrangement familiers

Valeurs de départ — Détecteur de déjà-vu

Longueur de la séquence	40
Taille de la fenêtre de motif	3
Essais de simulation	3000

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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La certitude demande 120 symboles ; une chance sur deux, 13 🖖

Le principe des tiroirs dit quand une répétition devient inévitable : avec 64 fenêtres possibles de trois symboles, une suite de 120 symboles contient 118 fenêtres et n’y échappe pas. Il ne dit rien du moment où une répétition devient probable — c’est la borne des anniversaires, et elle arrive bien plus tôt, vers 1,177 × √64 ≈ 9 fenêtres. Faites passer 200 000 suites aléatoires par le compteur de fenêtres de cet outil et le basculement se situe à la longueur 13 : 11 fenêtres, 51,2 %. La suite la plus courte qu’il tire, 10 symboles, se répète déjà 30,5 % du temps, et son plus petit préréglage, 30 symboles, 99,6 %. La familiarité n’attend pas la garantie.

Pourquoi les motifs familiers sont inévitables 🖖

Ce flash de 'je l'ai déjà vu' est votre détecteur cérébral de motifs qui s'active, mais dans un flux court formé de seulement 4 symboles, les répétitions locales sont ordinaires, non troublantes. Avec une fenêtre de taille 3, il n'existe que 4³ = 64 motifs possibles, si bien qu'une suite de 120 symboles (118 fenêtres) doit en répéter au moins un, par le principe des tiroirs. Cet outil compte les répétitions réelles et les compare à une base de référence aléatoire, séparant la vraie surprise du hasard ordinaire.

Certains motifs s'agglutinent plus que d'autres 🖖

Deux fenêtres de même longueur ne s'agglutinent pas de la même façon. Un motif auto-chevauchant comme AAAA ou ABAB peut s'aligner avec une copie décalée de lui-même : une fois apparu, il tend à réapparaître aussitôt, avec une variance de comptage plus élevée qu'une fenêtre sans chevauchement comme ABCD. Guibas et Odlyzko l'ont formalisé via l'autocorrélation d'un motif. Le déjà-vu ressenti dépend donc du motif qui revient, et pas seulement de sa longueur.

Problème entièrement résolu

Une fenêtre de 3 symboles glissant sur un flux de 50 symboles 6 étapes
Un flux de 50 symboles est tiré parmi les 4 lettres A, B, C, D, et une fenêtre de 3 symboles glisse le long de celui-ci. Il s'agit de l'état du panneau avec une longueur de 50 et une fenêtre de 3. Combien de ces fenêtres devraient présenter un motif déjà apparu ? Démontrez ce décompte, puis trouvez le flux le plus court pour lequel une répétition a déjà plus d'une chance sur deux de se produire.
1. Comptons les fenêtres avant toute autre chose. Une fenêtre de 3 symboles peut commencer à la position 1 et à chaque position jusqu'à 48, car commencer à 49 la ferait dépasser de la fin. Cela donne 48 fenêtres, et 48 est le dénominateur par rapport auquel est rapporté chaque décompte de répétitions du panneau.
  
  $N = L - w + 1 = 50 - 3 + 1 = 48$
2. Comptons maintenant ce qu'elles pourraient être. 3 emplacements, 4 lettres chacun, il existe donc 64 motifs. Il y a moins de fenêtres que de motifs, ce qui signifie que rien n'impose de répétition — le principe des tiroirs ne vous apporte rien ici, et tout ce qui se produit relève du hasard.
  
  $K = 4^{w} = 4^{3} = 64, N = 48 < K = 64$
3. Prenez la question à rebours et considérez un seul motif, par exemple ABD. La probabilité qu’une fenêtre donnée ne présente pas ABD est de 63/64. En supposant les 48 fenêtres indépendantes, comme dans le calcul d’espérance du panneau, la probabilité qu’aucune ne présente ce motif est (63/64)⁴⁸ = 0,4696. ABD apparaît donc au moins une fois avec une probabilité de 1 − 0,4696 = 0,5304.
  
  $(1 - \frac{1}{64})^{48} = e^{48 l n (63/64)} = e^{- 0.7559} = 0.4696$
4. Ce 0,5304 est la probabilité pour chaque motif à égalité, multipliez-le donc par l'ensemble des 64 motifs pour obtenir le nombre espéré de motifs distincts que le flux contient réellement.
  
  $E [D] = K [1 - (\frac{63}{64})^{48}] = 64 \times 0.5304 = 33.95$
5. Une fenêtre est une répétition si et seulement si son motif est déjà apparu. Chaque motif présent correspond donc exactement à une fenêtre qui n’est pas une répétition. Soustrayez du nombre total de fenêtres le nombre de motifs distincts : vous obtenez le nombre de répétitions.
  
  $E [R] = N - E [D] = 48 - 33.95 = 14.05$
6. Une seconde voie explique pourquoi la réponse est si élevée. Au lieu d'interroger les motifs, interrogez les paires de fenêtres : deux fenêtres quelconques portent les 3 mêmes symboles avec une probabilité de 1/64, et il y a 1128 paires à tester.
  
  $(2 48) = \frac{48 \times 47}{2} = 1128, \frac{1128}{64} = 17.6$
Réponse

Parmi les 48 fenêtres, 14,05 sont des répétitions en moyenne ; les 17,6 paires identiques attendues montrent que le phénomène est loin d’être marginal. Reprenez à rebours le dénombrement des paires pour déterminer à partir de quand une répétition devient plus probable que son absence. Une variable de comptage d’espérance λ vaut zéro avec une probabilité e^(−λ), qui devient inférieure à un demi exactement lorsque λ = ln 2. En égalant le nombre attendu de correspondances à ln 2, vous constatez que 10 fenêtres suffisent, soit une suite de 12 symboles. C’est le paradoxe des anniversaires, avec 64 dates possibles au lieu de 365. Une suite de 50 symboles qui se répète elle-même se situe ainsi au niveau de base et ne constitue pas un signal. Gardez toutefois une réserve à l’esprit : deux fenêtres voisines ont 2 de leurs 3 symboles en commun. Elles ne sont donc pas indépendantes, contrairement à l’hypothèse des deux dénombrements, et le véritable seuil est atteint avec environ un symbole de plus.

$\frac{1}{K} (2 N) = ln 2 ⟹ N (N - 1) = 2 (64) (0.6931) = 88.7, N \approx 10, L = N + w - 1 = 12$

Références (1)

Insight block 3 — why AAAA clumps and ABCD does not: L. J. Guibas and A. M. Odlyzko, "String overlaps, pattern matching, and nontransitive games." Journal of Combinatorial Theory, Series A 30(2), 183–208, 1981 — the correlation polynomial that measures how a pattern overlaps a shifted copy of itself.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

séquence courte - Courte séquence avec des fenêtres de 3 symboles : des répétitions apparaissent tout de même rapidement.
séquence moyenne - Une séquence de longueur moyenne montre que les motifs répétés sont normaux par pur hasard.
déjà-vu dense - Des séquences plus longues avec de plus grandes fenêtres génèrent tout de même des regroupements de déjà-vu.