Explorateur de Pi par Monte-Carlo

points aléatoires et comportement de convergence

Exemple résolu — Explorateur de Pi par Monte-Carlo

Erreur absolue	∣3.122000−3.141593∣≈1.959×10⁻²

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pourquoi l'erreur diminue si lentement 🖖

L'erreur de Monte-Carlo diminue proportionnellement à 1/√N, et non à 1/N — une conséquence du théorème central limite, puisque l'estimation est une moyenne de N tirages à pile ou face indépendants (dedans/dehors) dont la variance décroît en 1/N. Cette racine carrée coûte cher : gagner un chiffre décimal correct supplémentaire nécessite environ 100 fois plus de points, pas 10 — c'est pourquoi le nuage de points peut sembler franchement circulaire bien avant que les décimales cessent d'osciller. C'est aussi pourquoi cette méthode est rarement utilisée en pratique juste pour calculer π — elle est surtout utile pour les intégrales de haute dimension, où les méthodes déterministes sur grille passent à l'échelle exponentiellement avec la dimension, alors que le taux en 1/√N de Monte-Carlo ne dépend pas du nombre de dimensions.

une valeur fixe née du pur hasard 🖖

Le plus étrange : π est un nombre fixe et exact, et pourtant cet outil le détermine avec le seul hasard. Chaque point tombe de façon imprévisible, à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle par pure chance. Mais leur moyenne cumulée est docile — la loi des grands nombres garantit qu'en ajoutant des points, la fraction bruitée se stabilise vers une valeur unique. La leçon : le hasard, moyenné en masse, devient un instrument de mesure fiable.

l'aiguille qui a triché 🖖

Bien avant les points à l'écran, l'aiguille de Buffon (1777) estimait π en laissant tomber des aiguilles sur des lignes régulièrement espacées — sans doute la première expérience de Monte-Carlo. En 1901, Mario Lazzarini annonça que 3,408 lancers donnaient π = 3.1415929, exact à six décimales. Le hic : c'est exactement 355/113, une célèbre vieille approximation, et 3,408 est étrangement le nombre précis de jets nécessaire pour l'atteindre — il s'est presque sûrement arrêté à l'instant où le hasard rejoignait la cible.

Problème entièrement résolu

Évaluer si 3,122 est un mauvais tirage sur 2 000 points 5 étapes
3,122 est-il un mauvais tirage ? L'état par défaut tire N = 2000 points à partir de la graine 42, et 1561 d'entre eux tombent à l'intérieur du quart de disque. Calculez ce qu'aurait été un décompte ordinaire avant de juger l'estimation.
1. Chaque point est un essai qui réussit s'il tombe dans le quart de disque, et comme le carré englobant a une aire de 1, la probabilité de succès est directement cette aire. Sur 2000 essais indépendants, le décompte suit une loi binomiale, et la moyenne d'une loi binomiale est le nombre d'essais multiplié par la probabilité.
  
  $p = \frac{π /4}{1} = 0.7853982, E [N_{in}] = N p = 2000 \times 0.7853982 = 1570.80$
2. Ces deux mêmes nombres fixent la dispersion. Le décompte observé se situe à moins de dix unités en dessous de l'espérance, ce qui représente à peine un demi-écart type ; cette graine est donc tout à fait ordinaire — ce qu'il convient d'établir avant de lui faire un reproche.
  
  $σ_{N_{in}} = N p (1 - p) = 337.10 = 18.360, z = \frac{1561 - 1570.80}{18.360} = - 0.534$
3. L'estimation est le décompte multiplié par une constante fixe, donc son écart type est celui du décompte multiplié par cette même constante. C'est là qu'intervient le 1/√N familier : la dispersion du décompte croît comme √N tandis que la division s'effectue par N.
  
  $\overset{π}{^} = \frac{4 N _{in}}{N} ⟹ σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4}{N} σ_{N_{in}} = \frac{4 \times 18.360}{2000} = 0.036720$
4. L'erreur affichée doit être de ces mêmes 0,53 écarts types, car multiplier par une constante ne peut pas déplacer une valeur par rapport à sa propre dispersion. C'est un seul fait exprimé dans deux unités, et non deux faits.
  
  $∣ \overset{π}{^} - π ∣ = ∣ 3.122000 - 3.141593 ∣ = 0.019593 = 0.534 σ_{\overset{π}{^}}$
5. Voici maintenant la partie qu'aucune graine ne peut corriger. Quatre fois un entier divisé par 2000 est toujours un multiple de 0,002, et π étant irrationnel, il n'est jamais l'un d'eux — l'erreur ne peut atteindre zéro, et le point le plus proche où l'estimateur peut physiquement tomber est à un pas de la grille.
  
  $\overset{π}{^} \in \frac{4}{2000} Z = 0.002 Z : k min \frac{4 k}{2000} - π = ∣ 3.142 - 3.141593 ∣ = 4.073 \times 1 0^{- 4}$
Réponse

L'outil affiche 1561 points à l'intérieur, une estimation de 3,122000, et une erreur de 1,959 × 10⁻² par rapport à 3,141593. L'erreur typique à N = 2000 est de 0,0367, donc ce tirage est meilleur que la moyenne au lieu d'être pire, et environ trois graines sur cinq feraient moins bien que 42. Le plancher issu de l'étape 5 est de 4,073 × 10⁻⁴ : aucune graine à ce N ne peut faire mieux, car rien de ce que la formule peut produire ne se trouve plus proche de π que cela. C'est 90 fois plus petit que l'erreur typique, la grille est donc loin d'être le facteur limitant, et l'écart se creuse avec N au lieu de se combler — le plancher diminue en 1/N alors que l'erreur aléatoire ne diminue qu'en 1/√N. Cela règle également une affirmation que l'on rencontre au sujet de cette méthode : obtenir six décimales exactes à partir de quelques milliers d'essais n'est pas un tirage chanceux mais un résultat arithmétiquement inaccessible, puisqu'à N = 2000, rien de ce que l'estimateur peut produire n'est exact même à la quatrième décimale.

$σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4 p ( 1 - p )}{N} = \frac{1.6422}{N} vs δ_{m i n} \leq \frac{2}{N}$

Références (1)

Lazzarini's 3,408 tosses and why 355/113 gave him away: L. Badger, "Lazzarini's Lucky Approximation of π." Mathematics Magazine 67(2), 83–91, 1994.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

N petit - Un faible nombre d'échantillons donne une estimation à forte variance.
N moyen - Sur les 2 000 points, 1 561 tombent à l'intérieur du quart de cercle. L'estimation s'établit donc à 3,122000 et l'erreur à 1,959×10⁻². La graine aléatoire est fixe. Vous retrouverez ces mêmes 1 561 points à chaque clic. Ce qui fluctue sur le graphique d'erreur, c'est l'estimation qui se stabilise à mesure que les points s'accumulent. L'outil ne relance pas les dés.
N grand - Un plus grand nombre d'échantillons resserre l'estimation autour de pi.