Explorateur de Pi par Monte-Carlo

L'erreur de Monte-Carlo diminue proportionnellement à 1/√N, et non à 1/N — une conséquence du théorème central limite, puisque l'estimation est une moyenne de N tirages à pile ou face indépendants (dedans/dehors) dont la variance décroît en 1/N. Cette racine carrée coûte cher : gagner un chiffre décimal correct supplémentaire nécessite environ 100 fois plus de points, pas 10 — c'est pourquoi le nuage de points peut sembler franchement circulaire bien avant que les décimales cessent d'osciller. C'est aussi pourquoi cette méthode est rarement utilisée en pratique juste pour calculer π — elle est surtout utile pour les intégrales de haute dimension, où les méthodes déterministes sur grille passent à l'échelle exponentiellement avec la dimension, alors que le taux en 1/√N de Monte-Carlo ne dépend pas du nombre de dimensions.

Le plus étrange : π est un nombre fixe et exact, et pourtant cet outil le détermine avec le seul hasard. Chaque point tombe de façon imprévisible, à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle par pure chance. Mais leur moyenne cumulée est docile — la loi des grands nombres garantit qu'en ajoutant des points, la fraction bruitée se stabilise vers une valeur unique. La leçon : le hasard, moyenné en masse, devient un instrument de mesure fiable.

Bien avant les points à l'écran, l'aiguille de Buffon (1777) estimait π en laissant tomber des aiguilles sur des lignes régulièrement espacées — sans doute la première expérience de Monte-Carlo. En 1901, Mario Lazzarini annonça que 3,408 lancers donnaient π = 3.1415929, exact à six décimales. Le hic : c'est exactement 355/113, une célèbre vieille approximation, et 3,408 est étrangement le nombre précis de jets nécessaire pour l'atteindre — il s'est presque sûrement arrêté à l'instant où le hasard rejoignait la cible.