Simulateur de théorie des files d'attente (M/M/1)

taux d'arrivée/de service et stabilité de la file

Exemple résolu — Simulateur de théorie des files d'attente (M/M/1)

L (dans le système)	3.000
Lq (dans la file)	2.250
W (attente, système)	1.000
Wq (attente, file)	0.750
Utilisation (ρ)	0.750

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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la falaise de rho 🖖

L = ρ/(1−ρ) ne croît pas de façon régulière — elle possède une asymptote verticale en ρ = 1, si bien que lorsque l'utilisation passe de 90 % à 99 %, la longueur moyenne de la file bondit de 9 à 99 personnes, et juste à pleine capacité, elle devient illimitée. C'est la 'falaise de rho' : une file à 80 % d'utilisation semble presque identique à une file à 85 %, mais poussez-la à 95 % et les temps d'attente explosent, car W = 1/(μ−λ) présente la même singularité — c'est le dénominateur qui tend vers zéro, pas le numérateur qui grandit. C'est pourquoi des systèmes réels comme les centres d'appels ou les urgences hospitalières sont délibérément surdimensionnés bien en dessous de 100 % de capacité : cette marge 'inutilisée' près du sommet est justement ce qui vous éloigne de la falaise.

c'est le hasard qui forme la file 🖖

Dans M/M/1, les deux M désignent « markovien » : les arrivées se font au hasard (loi de Poisson) et les temps de service varient au hasard (loi exponentielle), à travers un seul serveur. L'idée centrale surprend — une file peut se former même quand le serveur est en moyenne plus rapide que l'arrivée des clients. Si chacun arrivait comme une horloge et que chaque tâche durait autant, un serveur disposant de marge ne formerait jamais de file. L'attente naît de la variabilité, non de la surcharge. Réglez λ bien en dessous de μ et une file apparaît et disparaît quand même.

la loi de Little n'exige presque rien 🖖

Les variables L et W présentées ici ne sont pas indépendantes : elles vérifient L = λW, tout comme Lq = λWq. Cette identité ne présuppose presque rien. John Little a prouvé en 1961 qu'elle reste valable pour toute file d'attente stable en régime permanent, quelles que soient les lois d'arrivée ou de service. Le nombre de serveurs n'a aucune importance. L'ordre dans lequel les clients sont servis non plus. La même relation régit un service hospitalier, les en-cours d'une usine et les stocks d'un magasin : le contenu moyen est égal au taux d'arrivée multiplié par le temps moyen passé à l'intérieur.

Problème entièrement résolu

Une file d'attente avec 3 arrivées par heure et une hausse de 20 % 5 étapes
Les clients arrivent au rythme de 3 par heure et le serveur en traite 4 par heure. Le serveur est inactif un quart du temps, ce qui semble confortable. Calculez la file d'attente que cela génère — puis ce qu'une hausse de 20% des arrivées lui fait subir.
1. La chaîne s'équilibre : le débit entrant dans chaque état égale le débit sortant, ce qui donne Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ — une loi géométrique sur la longueur de la file d'attente, où ρ est la fraction du temps où le serveur est occupé. Ici, ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. La moyenne de cette loi est ρ/(1 − ρ). Observez le dénominateur : non pas la capacité résiduelle en clients par heure, mais la fraction résiduelle. En moyenne, trois personnes se trouvent dans le système, pour un serveur inactif un quart de la journée.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Soustrayez la personne en cours de traitement — présente avec une probabilité ρ — et il en reste 2,25 en attente.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. La loi de Little transforme un effectif en une durée sans nécessiter aucune hypothèse sur la loi de probabilité : le nombre moyen dans le système est égal au taux d'arrivée multiplié par le temps moyen passé dans celui-ci. Une heure dans le système, dont 45 minutes en file d'attente, pour une tâche qui nécessite 15 minutes.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Portons maintenant λ à 3,6. Le taux d'utilisation passe de 0,75 à 0,90 — soit 20% de travail en plus — et ρ/(1 − ρ) passe de 3 à 9.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Réponse

L'outil affiche L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 pour un taux d'utilisation de 75%. La leçon réside dans le dénominateur de ρ/(1 − ρ) : ce qui détermine la file d'attente n'est pas la quantité de capacité résiduelle dont vous disposez, mais ce qu'il reste en fraction, et cette fraction est ce que vous consommez lorsque vous ajoutez de la charge. Vingt pour cent d'arrivées en plus triplent la file. Encore 10% de plus — ρ = 0,99 — la font passer à 99. C'est pourquoi les hôpitaux, les autoroutes et les contrôleurs de disque s'effondrent à fort taux d'utilisation au lieu de se dégrader progressivement, et pourquoi l'affirmation « nous ne sommes qu'à 90% de notre capacité » n'est pas le message rassurant qu'elle paraît être.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$

Références (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

charge légère - Un faible taux d'utilisation maintient la file d'attente et le délai réduits.
charge élevée - λ = 3,8 pour μ = 4 : le serveur est inactif une unité de temps sur vingt, et il y a toujours 19,000 clients en moyenne dans le système. Parmi eux, 18,050 font la queue au lieu d'être servis, patientant 5,000 unités de temps pour passer. Augmentez λ d'un dixième. L, Lq et W doublent presque. C'est l'attraction de l'asymptote en ρ = 1.
instable - Un taux d'utilisation supérieur à 1 rend la file d'attente instable.