Simulateur de théorie des files d'attente (M/M/1)

L = ρ/(1−ρ) ne croît pas de façon régulière — elle possède une asymptote verticale en ρ = 1, si bien que lorsque l'utilisation passe de 90 % à 99 %, la longueur moyenne de la file bondit de 9 à 99 personnes, et juste à pleine capacité, elle devient illimitée. C'est la 'falaise de rho' : une file à 80 % d'utilisation semble presque identique à une file à 85 %, mais poussez-la à 95 % et les temps d'attente explosent, car W = 1/(μ−λ) présente la même singularité — c'est le dénominateur qui tend vers zéro, pas le numérateur qui grandit. C'est pourquoi des systèmes réels comme les centres d'appels ou les urgences hospitalières sont délibérément surdimensionnés bien en dessous de 100 % de capacité : cette marge 'inutilisée' près du sommet est justement ce qui vous éloigne de la falaise.

Dans M/M/1, les deux M désignent « markovien » : les arrivées se font au hasard (loi de Poisson) et les temps de service varient au hasard (loi exponentielle), à travers un seul serveur. L'idée centrale surprend — une file peut se former même quand le serveur est en moyenne plus rapide que l'arrivée des clients. Si chacun arrivait comme une horloge et que chaque tâche durait autant, un serveur disposant de marge ne formerait jamais de file. L'attente naît de la variabilité, non de la surcharge. Réglez λ bien en dessous de μ et une file apparaît et disparaît quand même.

Les L et W affichés ici ne sont pas indépendants — ils vérifient L = λW, et de même Lq = λWq. Ce qui étonne, c'est le peu que cette identité suppose : John Little a démontré en 1961 qu'elle vaut pour presque toute file stable en régime permanent, quelles que soient les lois d'arrivée et de service, le nombre de serveurs et l'ordre de service. La même relation régit un service hospitalier, l'en-cours d'une usine et le stock d'un magasin : contenu moyen égale taux d'arrivée fois temps moyen passé à l'intérieur.