視直径変換ツール

小角度近似の天文学:地球から見た天体の見かけの大きさ。

計算例 — 視直径変換ツール

視直径(ラジアン)	0.0090395 rad
視直径(度)	0.51792°
視直径(分)	31.075′
視直径(秒)	1864.5′′
小角度近似の誤差	0.00068094%

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

D/dが厳密には正しくない理由 🖖

小角度の公式 θ ≈ D/d は、厳密な関係式 θ = 2 arctan(D/2d) の一次近似です。厳密な公式は幾何学から導かれます:観測者は距離dの位置から長さDの弦を見ており、全体の角度は半弦を距離で割った値の逆正接の2倍になります。この近似が成り立つのは、xが小さいときに arctan(x) ≈ x となるためです。月の場合(D ≈ 3475 km、d ≈ 384,000 km)、比D/d ≈ 0.0090で、誤差はわずか0.0007%です。10°ではすでに誤差が0.25%になり、60°では10%に達します。天文学ではほぼすべての対象がD ≪ dを満たすため、近似は百万分の一の精度で成り立ちますが、近距離の物体(50 m先のサッカー場、接近フライバイ中の惑星など)では逆正接の公式が重要になります。

どれだけ大きく見えるかが問題 🖖

視直径は、物体の本当の大きさではなく、どれだけ大きく見えるかを表します — 長さではなく角度です。遠くの高層ビルと腕を伸ばして持った硬貨が同じ大きさに見えることがあるのは、大きさと距離が比 D/d の中で釣り合うからです。太陽は月より約400倍大きいのに、距離も約400倍遠いため、どちらも空では約0.5°を占めます — これが皆既日食を可能にする偶然です。

膨張する宇宙では遠いほど大きく見える 🖖

小角近似は平坦で静的な空間を前提としますが、宇宙論はそれを覆します。太古の光が私たちに届くあいだに宇宙が膨張したため、角径距離は単調ではなく、赤方偏移 z ≈ 1.6 付近で最大になります。したがって、一定の大きさの銀河が空で小さくなるのはその点までで、それより遠い(より若い)銀河はむしろ大きく見えるのです。

あなたの答えはどこに収まるか

宇宙ステーションは木星より大きな的である

角度とは比であり、比はどちらの項が大きいかを気にしません。高度420 kmにある109メートルの宇宙機は、4天文単位先にある直径14万キロメートルの惑星に勝ちます。しかも僅差ではありません。下の各行は実際の直径と実際の距離を、このツールと同じ 2·arctan(D/2d) に通したものです。どの行を打ち込んでも同じ値が返ってきます。

見ている対象	直径	距離	視直径
腕を伸ばして持ったゴルフボール	42.67 mm	0.70 m	3.492°
太陽	1,392,700 km	1.00 AU	32.00′
満月	3,475 km	384,400 km	31.08′
頭上を通過する宇宙ステーション	109 m	420 km	53.53″
衝の木星	139,822 km	4.20 AU	45.90″
1パーセクから見た1天文単位	149,597,871 km	3.26 ly	1.0000″
プロキシマ・ケンタウリから見た太陽	1,392,700 km	4.25 ly	7.150 mas
同じゴルフボールを月面に置いた場合	42.67 mm	384,400 km	22.90 µas

パーセクの行が、残る7行を保証しています。パーセクは「1天文単位が1秒角に見える距離」として定義されているので、この行は 1.0000″ にならなければなりません。実際そうなります — 上下の行と同じ式から、12桁の精度で。この値を決めているのは表の中身ではなく、単位の定義です。2つの行はそのままでは入力できません。距離のメニューにパーセクはないので 3.26 ly を、直径のメニューにミリメートルはないのでゴルフボールは 0.04267 m を使ってください。そして最後の行こそ覚えておく価値があります。月面のゴルフボールは 22.9 マイクロ秒角、イベント・ホライズン・テレスコープが M87 のブラックホールの周りに分解したリングは 42 マイクロ秒角 — 2倍にも満たない差です。

参考文献 (6)

The parsec, and the self-check in the middle of the table: IAU, "Measuring the Universe" — a parsec is the distance at which one astronomical unit subtends one arcsecond
Moon diameter and mean distance: NASA Science, Earth’s Moon: Facts
Jupiter radius 69,911 km and 5.2 au from the Sun: NASA Science, Jupiter: Facts
ISS 109 m across the solar arrays: NASA, International Space Station Facts and Figures
Distance to Proxima Centauri: Gaia Collaboration 2021, "Gaia Early Data Release 3: The Gaia Catalogue of Nearby Stars", A&A 649, A6
The 42 µas ring, for the last line of the note: Event Horizon Telescope Collaboration 2019, "First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole", ApJL 875, L1

全プロセスの詳細解説

直径3474.8 km、距離384,400 kmの月 5 ステップ
月は直径が3474.8 km、距離が384 400 kmです。4つすべての単位で月がどのくらいの大きさに見えるかを求め、同じ公式を使って日食の偶然の一致を説明します。
1. 幾何構造は月の半分に対して描かれた直角三角形です。対辺が直径の半分、隣辺が距離となります。これにより角度の半分が得られるため、最後に2倍します。
  
  $tan \frac{θ}{2} = \frac{D /2}{d} = \frac{1737.4}{384 400} = 0.0045198$
2. 逆正接関数（アークタンジェント）はラジアンを返します。これは本質的な単位であり、以降のすべての公式で必要とされるものです。これ以降の手順はすべて単位変換です。
  
  $θ = 2 arctan (0.0045198) = 0.0090395 rad$
3. 度、分、秒は、それぞれ180/π、60、60の倍率関係にあります。記憶すべき数値は0.5度（半度）です。腕を伸ばして掲げた小指の爪で月が隠れるのは、このためです。
  
  $0.0090395 \times \frac{180}{π} = 0.5179 2^{\circ} = 31.07 5^{'} = 1864. 5^{''}$
4. 小角近似ではアークタンジェントを省略して単に割り算を行います。この例での誤差は100万分の7に過ぎず、天文学者が躊躇なくこれを使用する理由となっています。約10°までは誤差1%以内に収まります。
  
  $θ \approx \frac{D}{d} = 0.0090395 ⟹ error = 6.8 \times 1 0^{- 6} = 0.00068%$
5. 次に、太陽（1 AUの距離で1.39百万 km）について同じ2行の計算を行います。結果は0.5334°になります。
  
  $θ_{⊙} = 2 arctan \frac{696 350}{1.496 \times 1 0 ^{8}} = 0.533 4^{\circ}, \frac{0.5334}{0.51792} = 1.030$
解答

ツールには、月について0.0090395 rad、0.51792°、31.075′、および1864.5″が表示されます。太陽は0.5334°であり、400倍大きく390倍遠い天体であるにもかかわらず、わずか3%大きいだけに過ぎません。このほぼ相殺する数値関係こそが、皆既日食が可能である理由であり、同時にそれが非常にギリギリの条件である理由でもあります。月の距離は軌道上で約10分の1変化するため、月のディスクが太陽を完全に覆うこともあれば、わずかに足りずに金環を残すこともあります。物理法則のどこにも、この2つのサイズが一致することを要求する条件はありません。太陽のプリセットをクリックして2つの数値を並べて比較してみてください。この現象全体がわずか3%のマージンの中で成り立っています。

$θ = 2 arctan \frac{D}{2 d} : 0.5179 2^{\circ} (Moon) vs 0.533 4^{\circ} (Sun)$

42Math チーム · 更新 2026-07-14

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

月 - 地球から見た月の視直径は約0.5度である。
太陽 - 太陽は1 AUの距離からはおよそ0.5度の幅に見える。
ISSの通過 - ISSは見かけの大きさが小さく、詳細を見るには高倍率が必要である。