シュテファン=ボルツマン太陽光度計算機

恒星の半径と温度を入力し、シュテファン=ボルツマンの法則を使って放射エネルギーを計算します。

計算例 — シュテファン=ボルツマン太陽光度計算機

表面積 (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
相対半径の2乗	(1)²≈1
放射率	1

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

ベテルギウスは太陽より低温で7万9000倍明るい 🖖

1平方メートルあたりでは温度が支配します。T⁴ 対 R² です。それでもここのプリセットでは半径が勝ちます。実在の星は二つの量を同じ幅では変えないからです。ツール自身の二つの係数行を比べてください。この四つのプリセットで半径は3820倍（0.2 から 764 R☉）にわたりますが、温度はわずか3.1倍（3200 から 9940 K）です。ベテルギウスは太陽より低温なので (T/T☉)⁴ の行は 0.135、つまり純粋な減点を示します。それでも 78,914 L☉ に達するのは、(R/R☉)² の行が 5.84 × 10⁵ を示すからです。太陽のほぼ2倍の高温であるシリウスは 25.7 にとどまります。もう一方の変数に4桁の幅があるとき、指数の急峻さは負けるのです。

単位面積あたりでは、温度のほうが強く効く 🖖

このツールへの入力は、星の大きさと表面温度の二つだけです。しかし、その効き方には大きな差があります。半径はR²、温度はT⁴として効くため、単位面積あたりの放射を大きく左右するのは温度です。星の大きさを変えずに温度を二倍にすると、1平方メートルあたりの放射出力は2⁴ = 16倍になります。放射流束を決めるのは、この四乗です。星全体の光度まで温度が支配するかどうかは、半径がどれほど大きいかによって変わります。

1879年、シュテファンは太陽の熱を測った 🖖

ヨーゼフ・シュテファンは放射束が T⁴ で増えると述べただけではありません。1879年、彼はこの法則を逆に使いました。測定された太陽光を σT⁴ に通して逆算し、太陽表面をおよそ 5430 °C(約 5700 K)と見積もったのです。当時のライバルの推定値が1500°から数百万度まで散らばる中、これが初めての信頼できる値でした。この計算機も同じ逆算を行います。あなたが求める放射束こそ、シュテファンが太陽の温度を測るのに用いた量そのものなのです。

全プロセスの詳細解説

大きさと表面温度から求める太陽の全放射電力 5 ステップ
太陽の大きさと表面温度だけから全放射パワーを算出し、その単一の数値を用いて地球が本来どれほど寒いはずかを予測せよ。これはツールの太陽状態である：R = 1 R_☉ = 6.957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1。
1. シュテファン＝ボルツマンの法則は1平方メートルあたりのパワーを与えるため、まず平方メートル数を計算しなければならない。恒星は光球から放射を行っており、球体の表面積は半径のみから求められる。
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. 次に1平方メートルあたりの流束を求める。4乗という項こそが、この法則を非常にシビアなものにしている。太陽よりわずか20%高い温度の恒星は、表面のあらゆる箇所から1.20⁴ = 2.07倍もの強さで放射を行う。
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. 光度は流束に表面積を掛けたものに他ならない。なぜなら、恒星を離れるすべての光子は、その表面を正確に一度だけ通過するからである。この計算結果は1太陽光度の定義そのものであり、ツールの比較行に1と表示されるのはそのためである。
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. 恒星を離れてみよう。同じパワーが今度は地球軌道半径を半径とする球面上に広がるため、分母の表面積だけが変化する。大気外の人工衛星は1361 W/m²を測定しており、この一致によって上記3つのステップすべてが検証される。
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. 地球は面積 πR_⊕² の円盤で太陽光を遮るが、放射は球体全体である 4πR_⊕² から行う。惑星の半径は相殺されるが4の係数は残る。また、雲や氷は吸収される前に約30%をそのまま宇宙へ反射する。
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
解答

ツールは6.082 × 10¹⁸ m²、6.294 × 10⁷ W/m²、および3.828 × 10²⁶ Wを表示する。それ以降の計算はすべて同じ法則をさらに2回適用するものであり、最終的に254.6 Kに行き着く。地球の実際の平均表面温度は288 Kであるため、この予測は33 Kずれており、しかも常に低すぎるという特定の方向へずれている。この隔たりこそが温室効果であり、σT⁴ では供給できない一連の推論における唯一の量である。なぜなら、この法則は表面が何を放射するかを記述するものであり、上の空気がそこから出ていく放射に対して何をするかについては何も言及しないからである。これほど大雑把な計算が惑星の実測値の12%以内に収まることこそ、系外惑星について誰もが最初にこれを計算する理由である。

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

参考文献 (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

天文学 & 宇宙のレッスン一覧 →

例題

太陽 - R = 1 R☉、T = 5772 Kなので、二つの因子の行はいずれも正確に1となり、光度は1 L☉です。ほかの星の値は、すべてこれを基準にしています。
シリウスA - 温度は9940 Kで、太陽のほぼ二倍。それだけで因子は8.80になります。さらに1.711 R☉の半径を二乗した因子が加わり、25.7 L☉に達します。
ベテルギウス - 半径764 R☉、温度3500 K。温度の因子は0.135に下がりますが、半径の因子は5.84 × 10⁵にもなるため、光度は78,914 L☉に達します。
赤色矮星 - 半径0.2 R☉、温度3200 Kなので、二つの因子はいずれも1未満となり、掛け合わせた光度は0.004 L☉です。どちらの効果も光度を押し上げない唯一のプリセットです。