スペクトログラム

一うなり、方形窓を押してみてください。A4とA♯4は26.16 Hz離れているため、同時に鳴らすと一秒間に26.16回、すなわち38.2 msに一回のうなりが生じます。周波数分解能は窓の長さの逆数であるという一般的な経験則からすれば、まさにこの長さの窓が使われます。しかしこのページでスライスを数えてみると、二つのピークが現れるのはわずか61.9%です。分離に失敗するスライスは、二つの波の位相が揃い、二つのピッチの中間で足し合わさって一つの山になってしまう瞬間に当たります。一うなりの後、再び位相が揃います。すべてのスライスで分離するには、方形窓で1.33うなり（50.6 ms）、ハニング窓で1.88うなり（72.0 ms）の長さが必要です。ハニング窓は両端が細くなっているため、実際の長さよりも短い時間しか音を聴き取れないからです。次に十分な長さを押してみてください。80 msではすべてのスライスに両方の音が現れます。Julius Smithが著書Spectral Audio Signal Processingで示している「方形窓で二うなり、ハニング窓で四うなり」という法則は、このテストで必要な条件よりも安全側に倒したものです。これは、二つのメインローブが全く重ならないことを求めているためです。

半音は2^1/12という一定の比率であるため、ヘルツで測った幅はピッチが下がるにつれて狭くなります。A5では52.33 Hzですが、四オクターブ下のA1では3.27 Hzになります。窓の長さもそれに合わせて長くしなければなりません。結果の下にある表がその階段を示しています。ハニング窓で半音を分離するには、A5では36.0 ms必要ですが、A1では576.2 ms、つまり一分間に120拍のテンポにおける十六分音符四つ半分以上が必要になります。メロディのトリルを押してみてください。十六分音符で交互に鳴るA5とA♯5ですが、36 msの窓を使うと95.0%のスライスでどちらの音が鳴っているか分かります。次にベースのトリルを押してください。四オクターブ下の同じトリルを、音符一つ分と同じ長さの125 msの窓に通すと、判別できるのはわずか1.2%です。ここで窓の幅をドラッグして変えてみてください。短いと大雑把すぎて55 Hzと58.27 Hzを区別できません。一方で区別できるほど長くすると、四つか五つの音符をまたいでしまい、両方の音を同時に聴いてしまいます。10 msから一秒までのどのような窓を使っても、四分の一以上のスライスでベースのどの音が鳴っているかを示せるものはありません。音楽用に作られたアナライザーは、それぞれのピッチに独自の窓を与えることでこの問題に答えています。Judith Brownが1991年に発表した定Q変換は、周波数に反比例して窓の長さを変え、低音には長く、高音には短くしています。

グリッサンドを押してみてください。一つの音が二秒間で440 Hzから880 Hzへと、一秒間に220 Hzのペースで変化します。140 msのハニング窓に通すと、線の中間部での太さは18.2 Hzになります。窓を半分の70 msにすると、短い窓の特性通り、線は29.0 Hzに広がります。逆に二倍の280 msにしても、やはり30.8 Hzに広がってしまいます。長い窓ほどメインローブは細くなりますが、音を聴き取っている間にもピッチが動くからです。280 msの間にグリッサンドは61.6 Hz移動し、窓はその広がり全体を一つの線にぼやかしてしまいます。この二つのぼやけが逆方向に働くため、このグリッサンドでは140 ms付近で線が最も細くなります。持続する和音にはこのような最適な長さはありません。72.0 msを超えればハニング窓のすべてのスライスで分離し、窓を長くするほどローブが細くなるだけです。これら両方の根底にあるのは、窓の時間的広がりとピッチの広がりの積をどこまで小さくできるかという下限であり、波束のページで説明しているのはまさにこのことです。