地図投影のゆがみラボ

グリーンランドの面積は 2.166 百万 km² であり、北緯 74.5° 付近に位置する。メルカトル図法でそれがどのように表示されるかを求めよ。次に、その緯度における3つの投影法すべてを比較し、それらに共通する性質を見つけよ。

1. メルカトル図法は角度を保つように作られており、その条件からほかの性質も決まる。緯度 φ の緯線上では、経度1度に相当する地表距離が cos φ 倍に縮んでいる。したがって局所的な形を正しく保つには、地図の東西方向を 1/cos φ = sec φ 倍に引き伸ばさなければならない。

   $$\sec \phi =\frac{1}{\cos 74.5^{\circ }}=\frac{1}{0.2672}=3.742$$

2. 74.5° では cos φ = 0.26724 なので、sec φ = 3.742 となる。この緯度では、東西方向の距離がすべて実際の 3.742 倍に描かれる。

3. 角度を保つには南北方向も同じ倍率で引き伸ばす必要がある。そのため面積には sec φ が二度かかり、sec² φ = 14.002 となる。パネルではこれを 14.00 に丸めている。

   $$A_{\text{Mercator}}={\sec }^2\phi =3.742^2=14.00$$

4. 実際に計算してみよう。2.166 × 14.002 = 30.33 百万 km² だから、メルカトル図法ではグリーンランド中央部の緯度にある領域が実面積の 14 倍に描かれる。形状比は 1 のままなので、どの一点を見ても形に不自然さはない。それでも、国土は緯度 24 度にわたって広がり、両端で縮尺が異なるため、全体としては湾曲する。

   $$2.166\times 14.002=30.33{\text{million km}}^2$$

5. 次に、同じ緯度における他の2つの図法を見る。等積図法は、東西方向が 3.742 倍に拡大する一方で南北方向を 0.2672 倍に圧縮することで、面積を 2.166 に保つ。したがって、その形状比は 3.742 ÷ 0.2672 = 14.00 となる。プレート・キャレ図法は南北方向を変化させない。面積倍率は 3.742、形状比も 3.742 である。

   $$\text{equal-area:}\frac{3.742}{0.2672}=14.00\text{(shape)},\text{area}=1$$

6. それぞれのペアを掛け合わせる。メルカトル図法は 14.00 × 1、等積図法は 1 × 14.00、プレート・キャレ図法は 3.742 × 3.742 となる。3つともすべて 14.00 であり、14.00 は最初の数値である sec² φ と一致する。

   $$\text{area}\times \text{shape}={\sec }^2\phi =14.00\text{for all three}$$

緯度 78.2° において、パネルはメルカトル図法の東西方向の伸びを 4.89、面積倍率を 23.91 と表示する。いずれも局所的な値である。この緯度が紙面のどこに描かれるかを求め、そのうえで紙面がどう配分されているかを判断せよ。

1. 表示された二つの数値は、どちらも小さな一区画についての値である。緯度 78.2° にある地表の小片がどれだけ拡大されるかを述べているだけで、その小片が紙面のどこに描かれるかについては何も語らない。

   $$\sec 78.2^{\circ }=\frac{1}{0.2045}=4.89,{\sec }^{2}78.2^{\circ }=23.91$$

2. 位置とは、その下にあるすべての伸びを積み上げたものである。北へ dφ 進む一歩は地表では一定の距離を占め、紙面では sec φ 倍の長さに描かれる。したがって紙面の y 座標は、パネルが表示しているまさにその割合で増えていく。

   $$dy=\sec \phi d\phi ⟹y(\phi )={\int }_0^{\phi }\sec {\phi }^{\prime }d{\phi }^{\prime }$$

3. この積分には閉じた形があり、それこそメルカトル自身の作図法が覆い隠しているものである。78.2° では 2.270 となる。

   $$y=\ln \tan \left(45^{\circ }+\frac{\phi }{2}\right);y(78.2^{\circ })=\ln \tan 84.1^{\circ }=\ln 9.677=2.270$$

4. 極では y が無限大に発散するため、紙面はどこかで切らねばならない。この地図のように 85° で切ると半分の高さは 3.131 となり、スヴァールバルの緯度は下から 72.5% の位置に来る。

   $$y(85^{\circ })=\ln \tan 87.5^{\circ }=\ln 22.90=3.131,\frac{2.270}{3.131}=72.5\%$$

5. では、ちょうど高さの半分に来るのはどの緯度か。同じ式を半分の高さで逆に解くと 66.4° であり、北極圏の境界から 5 分の 1 度以内である。

   $$y=\frac{1}{2}(3.131)=1.566⟹\phi =2\arctan e^{1.566}-90^{\circ }=66.4^{\circ }$$

6. 次に、その下にある地表を見る。二本の緯線に挟まれた面積は正弦の差に比例するため、この紙面の上半分、すなわち 66.4° より北にあるものは、描かれた地表の 8.0% にすぎない。高さの 17.5% を占める赤道から 30° までの帯には、その 50.2% が入っている。

   $$\frac{\sin 85^{\circ }-\sin 66.4^{\circ }}{\sin 85^{\circ }}=\frac{0.9962-0.9166}{0.9962}=8.0\%,\frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 85^{\circ }}=50.2\%$$