黄金比とフィボナッチ螺旋

フィボナッチの漸化式は、比を「1 + その逆数」で繰り返し置き換えます:F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1)。この比がxに落ち着くと、x = 1 + 1/x を満たす必要があり、つまりx² = x + 1となり、その正の解がphiです。この螺旋は同じ自己相似性を幾何学的に表したもので、より大きな各正方形は前の長方形に新しい正方形を1つ加えたものを含んでいます。

棒グラフを見てみよう。連続するフィボナッチ比は φ のすぐ上とすぐ下に交互に現れ、その差は一歩ごとに縮んでいく。21/13 = 1.615 の時点で φ との差はすでに 0.003 未満になり、数項後には表示できる桁数すべてで φ と一致する。収束はとても速く、行き過ぎがいつまでも大きく外れることはない。

連分数で書くと φ = [1; 1, 1, 1, …]、すべてが 1 という最小の係数だけからなる。そのため φ は分数で近似するのが最も難しい数であり、その最良の近似こそ、このツールが描くフィボナッチ比にほかならない。自然もこれを利用している。360°/φ² ≈ 137.5° ずつ離して並べた種は決して隙間状に整列せず、ヒマワリや松ぼっくりの密で均等な配置を生み出す。