逆関数エクスプローラー

関数を選び、f上の点を動かして、逆関数上の鏡映点を観察しよう。単射でない場合は定義域を制限しよう。

計算例 — 逆関数エクスプローラー

f上の点P	(2,4)
f⁻¹上の鏡映点Q	(4,2)
現在の定義域で可逆	Yes

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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平方根が答えを半分しか返さない理由 🖖

2 乗すると 3 と −3 は同じ場所へ移るため、逆をたどると答えが一つに定まりません。関数は入力ごとに出力を一つしか持てないからです。数学はこれを切除で解決します。平方根は、x ≥ 0 に制限した 2 乗の逆関数として定義されているのです。この制限があるために √9 は 3 であって ±3 ではなく、x² = 9 を解くときには ± を自分で書き戻す必要があります。横線判定は、どの関数がこの手術を必要とするかを前もって見抜くための道具にすぎません。

「元に戻す」ボタンとその確かめ方 🖖

逆関数は「元に戻す」ボタンのようなものです。f の出力を f⁻¹ に通せば、出発点の x に戻ります。求めるには方程式で x と y を入れ替えて解きます。この入れ替えこそが、2つのグラフを直線 y=x について対称に映す理由です。最も確実な確認は合成で、f(f⁻¹(x)) = x かつ f⁻¹(f(x)) = x なら、正しい対になっています。摂氏を華氏に変換して戻すのも、日常での同じ考え方です。

自分自身が逆関数になる関数 🖖

ほとんどの曲線は直線 y=x についての鏡像とは似ても似つきませんが、ごく一部はぴったり自分自身に重なります。これが対合、つまり f(f(x)) = x を満たす関数で、自分自身が逆関数です。逆数 f(x) = 1/x が典型例で、その双曲線はすでに y=x について対称なので、反射しても何も変わりません。同じ「自分で元に戻す」仕組みは ROT13 にも使われ、文章を2回暗号化すると元に戻ります。

逆関数 — 存在するのか、そしてどの定義域で

あなたはどの逆関数のケースにいますか？

関数に逆関数があるのは、二つの入力が同じ出力を共有しないとき、ちょうどそのときだけです。水平線テストです。通れば、逆関数は y = x に関する折り返しであり、ほかに決めることはありません。通らなくても行き止まりではありません。テストを通る範囲まで定義域を切り詰めれば、そこには逆関数があります。どちらのケースかは、代数に入る前に決まります。

狭義単調 — 逆関数はどこにでもある f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

水平線テストが通らない — 実数全体では逆関数がない f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

定義域を制限すれば逆関数は戻ってくる x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

古典的な対 — 定義域と値域が入れ替わる f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

狭義単調 — 逆関数はどこにでもある

わかっていること: 関数は出力を決して繰り返さないので、どの水平線もグラフと一度だけ交わります。逆関数は値域全体で定義されます。

判定: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

計算例: f(x) = 2x + 1 は 2 を 5 へ送り、f⁻¹(x) = (x − 1)/2 は 5 を 2 へ戻します

このケースを開く: 線形のペア

狭義単調 — 逆関数はどこにでもある. どの水平線も一度だけ交わるので、y = x に関する折り返し自体が関数になります。関数は出力を決して繰り返さないので、どの水平線もグラフと一度だけ交わります。逆関数は値域全体で定義されます。 — どの水平線も一度だけ交わるので、y = x に関する折り返し自体が関数になります。

水平線テストが通らない — 実数全体では逆関数がない

わかっていること: 異なる二つの入力が同じ出力を与えるので、逆関数を名乗るものは二つの値を同時に返さねばなりません。グラフを折り返すと曲線は得られますが、関数にはなりません。

判定: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

計算例: f(x) = x² は 2.5 も −2.5 も 6.25 へ送るので、f⁻¹(6.25) にただ一つの答えはありません

このケースを開く: 二次関数(可逆でない)

水平線テストが通らない — 実数全体では逆関数がない. 水平線が放物線と二度交わるので、折り返しは関数になりえません。異なる二つの入力が同じ出力を与えるので、逆関数を名乗るものは二つの値を同時に返さねばなりません。グラフを折り返すと曲線は得られますが、関数にはなりません。 — 水平線が放物線と二度交わるので、折り返しは関数になりえません。

定義域を制限すれば逆関数は戻ってくる

わかっていること: 関数が単調になる区間まで定義域を切り詰めます。x ≥ 0 なら放物線はテストを通り、そこでは √x が逆関数です。

判定: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

計算例: x ≥ 0 では f(x) = x² が 2.5 を 6.25 へ送り、f⁻¹(x) = √x が 6.25 を 2.5 へ戻します

このケースを開く: 制限された二次関数

定義域を制限すれば逆関数は戻ってくる. 放物線の半分は単調で、その半分の上では折り返しがふたたび関数になります。関数が単調になる区間まで定義域を切り詰めます。x ≥ 0 なら放物線はテストを通り、そこでは √x が逆関数です。 — 放物線の半分は単調で、その半分の上では折り返しがふたたび関数になります。

古典的な対 — 定義域と値域が入れ替わる

わかっていること: eˣ と ln x は互いの逆関数です。一方が受け取るものを他方が返します。各々の定義域が、相手の値域です。

判定: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

計算例: e¹ = 2.718、ln(2.718) = 1。eˣ は実数全体を正の数へ送り、ln は正の数を実数全体へ戻します。

このケースを開く: 指数関数と対数関数

古典的な対 — 定義域と値域が入れ替わる. どちらの曲線も相手を y = x で折り返したもの。正の半直線が直線全体になります。 eˣ と ln x は互いの逆関数です。一方が受け取るものを他方が返します。各々の定義域が、相手の値域です。 — どちらの曲線も相手を y = x で折り返したもの。正の半直線が直線全体になります。

全プロセスの詳細解説

点 (2, 4)（f(x) = x² 上、(4, 2) へ対称移動） 5 ステップ
f(x) = x² 上の点 (2, 4) は、その逆関数上で (4, 2) になる。この対称移動が直線 y = x に関するものであることを証明し、なぜ f の定義域を制限する必要があるのかを見出せ。
1. 逆関数は元の関数の作用を取り消すため、f が a を b に送るなら、逆関数は b を a に送る。座標を入れ替えることこそが操作のすべてであり、ツール上の2点が逆の順序で同じ数字を示しているのはそのためである。
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. その入れ替えは対称移動であり、その対称軸は単に自明とするのではなく幾何学的に特定することができる。まず2点の中点をとる。
3. 中点は (3, 3) であり、これは y = x 上にある。中点の座標は常に互いに等しくなるため、任意の組 (a, b) と (b, a) についても同様のことが成り立つ。
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. 次に方向について考える。2点を結ぶ線分の傾きは −1 であり、傾き 1 の直線 y = x と直交する。線分を垂直に二等分する直線はその垂直二等分線であるため、y = x が対称軸となる。
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. 定義域の制限も、同じ入れ替えによって不可欠となる。制限がなければ f は 2 と −2 の両方を 4 に送るため、逆の対応は 4 を一度に2つの場所へ送らなければならなくなり、関数ではなくなってしまう。
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
解答

ツールは P = (2,4) および Q = (4,2) と表示し、現在の定義域においてこの関数が逆関数を持つと報告する。証明となるのはステップ 3 と 4 の2つの事実、すなわち y = x によって二等分され、かつそれと垂直であるということである。これこそがまさに対称移動の定義に他ならない。定義域の制限は単なる形式上の手続きではなく実質的な損失であるため、注目に値する。x² は完全に正当な関数であるが単に逆関数が存在しないだけであり、平方根は私たちが同様に x² と呼ぶことに合意している別のより小さな関数の逆関数なのである。制限を解除すると、反転された曲線が関数ではなくなる様子が観察できる。

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

参考文献 (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

42Math チーム · 更新 2026-07-27

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例題

線形のペア - 一次関数は大域的に逆関数を持ち、完全な鏡映対称性を示す。
二次関数(可逆でない) - x^2は実数全体で単射ではないため、大域的には逆関数を持たない。
制限された二次関数 - x^2をx>=0に制限すると逆関数が存在するようになり、sqrt(x)が得られる。
指数関数と対数関数 - expとlnはy=xを軸に対称な、典型的な逆関数のペアをなす。