音楽数学ラボ

数論、ポリリズム、そして音律の比較探求

計算例 — 音楽数学ラボ

● トラック A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● トラック B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
同調	+50 セント

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

完全五度を 12 回積むと 7 オクターブを超える 🖖

周波数比 3:2 の純正五度を 12 回積み重ねれば、7 オクターブ上で出発した音に戻るはずです。ところが戻りません。(3/2)¹² = 129.7463 であるのに対し、7 オクターブは 2⁷ = 128 です。つまり螺旋はオクターブを 1.4% だけ外します。これがピタゴラスのコンマ、23.46 セントです。すべての五度とすべてのオクターブを同時に純正に保つ鍵盤の調律は存在しません。3 と 2 に共通の累乗がないからです。12 平均律はこれを、すべての五度から 1.955 セントを削ることで解決します。12 個すべてがわずかに低くなり、どれ一つも正確ではありません。あなたが聞いてきたピアノはどれも、意図的に、そして均等に狂っているのです。

数はどうやって和音になるのか 🖖

すべての整数は素因数、すなわち分割できない構成要素に分解できます。このツールは各素数を音程に変換します。2 はオクターブ、3 は完全五度、5 は長三度です。だから 6 = 2 × 3 はオクターブの上に五度が重なった響きになり、7 のような素数は単一の純粋な音として鳴ります。まさに数の算術的な骨格を耳で聞いているのです。

粒子加速器で生まれたリズム 🖖

ここで使われる均等に配置されたビートパターンは、ロスアラモスの核破砕中性子源で中性子パルスのタイミングを取るために考案されたビョークルンドのアルゴリズムに由来します。2005年、計算機科学者 Godfried Toussaint は、その出力が世界中の民族リズムと一致することに気づきました。既定値の一つ E(5,8) はキューバの cinquillo です。さらに驚くべきことに、この方法は2000年以上前のユークリッドの最大公約数を求めるアルゴリズムそのものです。

全プロセスの詳細解説

ピアノ上の1.96セントのずれを持つ完全五度 6 ステップ
完全五度は純正律では 3/2 であり、ピアノでは 2^(7/12) である。その差は 1.96 セントである。なぜ誰もこれを単純に修正できなかったのかを解き明かせ。
1. 同じ音程に対する 2 つの定義である。一方は小さな整数の比であり、これが協和して聞こえる理由である。もう一方は 12 乗根であり、これが鍵盤に収まる理由である。
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. セントを用いると、1 オクターブを 1200 とし音程を加算できる対数尺度上に両者を配置できる。純正な五度はセントの整数値にならないが、平均律の五度はその構造上、整数値となる。
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. その差は小さく、持続音において多くの聴き手が気づく 5 セントを十分に下回っている。これこそが平均律が許容されている理由である。
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. ここでそれらを 12 個重ね、12 個の五度が到達するはずの地点である 7 オクターブと比較する。
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. セント単位でのこの差がピタゴラスのコンマであり、半音の約 4 分の 1 に相当し、明確に聞き取れるものである。
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. アンドこれは、まさに小さな誤差の 12 回分である。重ね合わせにおいて何も失われず、何も得られていない。平均律は単にコンマを 12 で割り、五度ごとに 1 回ずつそれを負担しているに過ぎない。
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
解答

なぜなら、その差を 12 個重ねると 23.46 セントになり、それは実際に聴き取れる大きさの音程だからである。純正な五度を 12 個重ねると 129.746 に達し、7 オクターブを重ねると 128 に達する。この 2 つは本来同じ音になるはずだが、1.4% の差が生じており、これがピタゴラスのコンマである。すべての五度を純正に保ちながら五度圏を閉じられる調律は存在しない。なぜなら、3/2 をいかなる整数乗しても 2 の累乗には決してならず、素因数分解が一致し得ないからである。したがって、鍵盤楽器のあらゆる調律は、このコンマをどこに配置するかという決定にほかならない。12 個すべての五度に均等に分散させるのが平均律であり、これは各五度に 1.96 セントの負担を強いる。あるいは、めったに演奏されない調に隠すかであり、これこそが歴史的調律が行ったことであって、それらの調律のために書かれた音楽が調ごとに異なる響きを持つ理由である。

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

参考文献 (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

42Math チーム · 更新 2026-09-03

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例題

自然数 - 自然数のアルペジオ：素因数のマンダラが広がっていく様子を観察しよう。
フィボナッチ - フィボナッチのアンビエント・シーケンス：音が螺旋の値に合わせて外側へと広がっていく。
ポリリズム - ポリリズムのループ：5拍と7拍のユークリッドのリズムが並行して鳴る。
音律の比較 - 音律の比較：純正律(3:2)と平均律(2^(7/12))を比べる。