極座標曲線

極座標はデカルトグリッドを捨てて放射状の幾何学を採用します。r(θ)としてマッピングされた関数は、純粋に角度依存の半径関数が中心力物理学をどう記述するかを数学的に示します。

極座標は、点を二つの素朴な問いで定めます。中心からどれだけ離れているか、そしてどの方向か。だからこそ、螺旋や花のようなバラ曲線、軌道など自然な中心をもつ図形は、ここでは短くすっきりした式になり、一方でx-y格子上では煩雑な式に膨らみます。螺旋のプリセットを試してみましょう。r = θ/π は「回るにつれて半径が一定の割合で伸びる」だけの意味ですが、直交座標版はもつれた式になります。教訓は、問題の対称性に合った座標を選べば数学は簡単になるということです。

対数螺旋 r = a·e^(bθ) はヤコブ・ベルヌーイを強く魅了し、彼はこれを spira mirabilis(「驚くべき螺旋」)と呼びました。拡大しても、回転させても、反射させても同じ曲線に戻るからです。彼は墓石にこの螺旋を刻み、Eadem mutata resurgo(「変えられても、同じ姿でよみがえる」)という銘を添えることを望みました。しかしバーゼルの石工は、代わりにアルキメデスの螺旋 (r = aθ) を刻んでしまいました。まったく別の曲線であり、その誤りは今日でも見ることができます。