極座標曲線

極座標曲線を探索しよう：角度 θ の関数としての r。

計算例 — 極座標曲線

方程式	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

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k が奇数なら k 枚、偶数なら 2 倍の花びら 🖖

バラ曲線 r = cos(kθ) の花びらは、期待どおりの k 枚にはなりません。k が奇数なら k 枚です。cos(3θ) は 3 枚を描き、半回転で完成します。そのまま 2π まで進めても、負の r の値が正の値のちょうど上に重なるため、曲線はすでに描いた花びらをなぞるだけです。k が偶数だとその重ね先がないので、この余分な周回が隙間に新しい花びらとして現れます。cos(4θ) は結果として 8 枚になります。このツールの 2 つのバラのプリセットが違う場所で止まるのは、まさにこのためです。3 枚のバラは π、8 枚のバラは 2π まで回ります。

左右ではなく、距離と方向 🖖

極座標は、点を二つの素朴な問いで定めます。中心からどれだけ離れているか、そしてどの方向か。だからこそ、螺旋や花のようなバラ曲線、軌道など自然な中心をもつ図形は、ここでは短くすっきりした式になり、一方でx-y格子上では煩雑な式に膨らみます。螺旋のプリセットを試してみましょう。r = θ/π は「回るにつれて半径が一定の割合で伸びる」だけの意味ですが、直交座標版はもつれた式になります。教訓は、問題の対称性に合った座標を選べば数学は簡単になるということです。

ベルヌーイが墓に望んだ螺旋 🖖

対数螺旋 r = a·e^(bθ) はヤコブ・ベルヌーイを強く魅了し、彼はこれを spira mirabilis(「驚くべき螺旋」)と呼びました。拡大しても、回転させても、反射させても同じ曲線に戻るからです。彼は墓石にこの螺旋を刻み、Eadem mutata resurgo(「変えられても、同じ姿でよみがえる」)という銘を添えることを望みました。しかしバーゼルの石工は、代わりにアルキメデスの螺旋 (r = aθ) を刻んでしまいました。まったく別の曲線であり、その誤りは今日でも見ることができます。

極座標の曲線 — どの族か、そして花びらは何枚か

あなたは極座標曲線のどのケースにいますか？

極形式では、形を決めるのは r の式と、曲線が閉じるまでに θ がどこまで走る必要があるかです。バラ曲線は cos nθ から生まれ、花びらの枚数は n が奇数か偶数かで決まります。心臓形とリマソンは a + b·cos θ から生まれ、比 a/b がくぼみになるか、とがりになるか、内側の輪になるかを決めます。形を見分けられれば、絵はもうわかっています。

a = b — 心臓形、原点にただ一つのとがり a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ で n が奇数 — 花びらは n 枚、半回転で描き切る n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ で n が偶数 — 花びらは 2n 枚、1 周まるごとが要る n = 2k ⇒ # = 2n

b > a — 内側に輪をもつリマソン b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b — 心臓形、原点にただ一つのとがり

わかっていること: r = a + b·cos θ で a と b が等しい場合。半径は 2a からちょうど 0 まで落ちるので、曲線は原点に一度だけ触れ、そこにとがりを作ります。

形: a = b ⇒ r(π) = 0

計算例: r = 1 + cos θ：θ = 0° で r = 2、90° で r = 1、180° で r = 0。囲む面積は 3π/2 ≈ 4.712 です。

このケースを開く: カージオイド

a = b — 心臓形、原点にただ一つのとがり. 半径は 180° で 0 まで縮み、曲線はとがりとなって閉じます。 r = a + b·cos θ で a と b が等しい場合。半径は 2a からちょうど 0 まで落ちるので、曲線は原点に一度だけ触れ、そこにとがりを作ります。 — 半径は 180° で 0 まで縮み、曲線はとがりとなって閉じます。

cos nθ で n が奇数 — 花びらは n 枚、半回転で描き切る

わかっていること: 奇数の n はちょうど n 枚の花びらを与え、θ が 0 から π まで走った時点でバラは完成します。2π まで進めても同じ花びらをなぞり直すだけです。

形: n = 2k+1 ⇒ # = n

計算例: r = cos 3θ を 0 から π まで：花びらは 3 枚、それぞれ θ で 60° ぶん、最初の 1 枚は θ = 0 を中心にします

このケースを開く: バラ曲線 (3)

cos nθ で n が奇数 — 花びらは n 枚、半回転で描き切る. 花びらは 3 枚、半回転で完成します。残りの半周はそれを繰り返すだけです。奇数の n はちょうど n 枚の花びらを与え、θ が 0 から π まで走った時点でバラは完成します。2π まで進めても同じ花びらをなぞり直すだけです。 — 花びらは 3 枚、半回転で完成します。残りの半周はそれを繰り返すだけです。

cos nθ で n が偶数 — 花びらは 2n 枚、1 周まるごとが要る

わかっていること: 偶数の n は予想の 2 倍の花びらを与え、そのすべてに θ が 0 から 2π まで走ることが必要です。

形: n = 2k ⇒ # = 2n

計算例: r = cos 4θ を 0 から 2π まで：花びらは 8 枚、それぞれ θ で 45° ぶん

このケースを開く: バラ曲線 (8)

cos nθ で n が偶数 — 花びらは 2n 枚、1 周まるごとが要る. 花びらは 8 枚。4 枚は正の r から、残る 4 枚は r が負になる区間から。偶数の n は予想の 2 倍の花びらを与え、そのすべてに θ が 0 から 2π まで走ることが必要です。 — 花びらは 8 枚。4 枚は正の r から、残る 4 枚は r が負になる区間から。

b > a — 内側に輪をもつリマソン

わかっていること: r = a + b·cos θ で b が a より大きい場合。半径は 1 周のうち一部で負になり、その区間が主曲線の内側に輪を描きます。

形: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

計算例: r = 1 + 2cos θ：θ = 0° で r = 3、そして θ が 120° から 240° の間では r < 0 で、これが内側の輪です

このケースを開く: リマソン

b > a — 内側に輪をもつリマソン. r が負になる区間が原点を通って折り返し、内側の輪になります。 r = a + b·cos θ で b が a より大きい場合。半径は 1 周のうち一部で負になり、その区間が主曲線の内側に輪を描きます。 — r が負になる区間が原点を通って折り返し、内側の輪になります。

全プロセスの詳細解説

面積 4.7124（カージオイド r = 1 + cos θ に囲まれた領域） 5 ステップ
カージオイド r = 1 + cos θ が囲む面積は 4.7124 である。これを導出し、基となった円と比較せよ。
1. 極座標における面積は ∫y dx ではない。角度 dθ の細い扇形は面積 ½r²dθ の三角形であり、それらの扇形を積分することが公式のすべてである。
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. したがって、被積分関数は半径の2乗であり、この曲線においては3つの項に展開される。
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. 各項の1周にわたる積分は容易である。中央の項は消滅する（コサインの平均がゼロになるため）。そして最後の項には、cos² の平均が ½ になるという標準的な結果を利用する。
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. これらを足し合わせると 3π/2 となり、これは 4.7124 である。
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. この曲線は 1 + cos θ = 0 となる θ = π において、ちょうど1回だけ原点に達する。そこが尖点であり、カージオイドが単に円を平行移動したものではない理由である。
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
解答

ツールは面積 4.7124 を出力し、r = 0 となるのは θ = 3.142 のときである。比較することに大きな意味がある。単位円が囲む面積は π であるため、最も広がる場所でも r = 2 までしか達せず、尖点でゼロにつぶれるにもかかわらず、カージオイドはまさにその 1.5倍 の面積を保持する。扇形の描像がその理由を説明している。面積は r² に比例して蓄積するため、幅が広い側の影響が、その幅から想像されるよりもはるかに支配的になるのである。曲線を cos(3θ) に切り替えると、パネルには 1.5708 と表示される。これは π/2 であり、3葉ローズの実際の面積 π/4 のちょうど2倍である。積分計算が間違っているのではなく、範囲が間違っているのだ。奇数葉ローズは θ が π に達するまでに描き切られ、2π になるまでに再び重ねて描かれるため、扇形が2回カウントされる。上限を 3.14159 に設定すると、0.7854 が表示される。極座標の面積は、積分範囲の設定が単なる形式手続きではなくモデル化の判断となる唯一の積分である。

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

参考文献 (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

42Math チーム · 更新 2026-07-27

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例題

カージオイド - r = 1+cos(θ) は一周で A = 4.7124、すなわち 3π/2 を囲みます。単位円の1.5倍です
バラ曲線 (3) - cos(3θ) は θ を π までとれば3枚の花弁がすべて閉じ、囲む面積は A = 0.7854 = π/4
バラ曲線 (8) - cos(4θ) が描く花弁は4枚ではなく8枚。k が偶数だと倍になります。全体には 2π が必要で、A = 1.5708 = π/2
リマソン - r = 1+2cos(θ) は負になります。θ = π では表示が点 (1.000, 0.000) で r = −1.0000 となり、そこから内側のループが生まれます