カルノーエンジン・シミュレーター

カルノーエンジンは、あらゆる熱機関の理論上の最大効率を定めます。

計算例 — カルノーエンジン・シミュレーター

η (効率)	1 - 300/600
W (取り出せる仕事)	1000 × 0.500
QC (放出される熱)	1000 - 500.0

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — カルノーエンジン・シミュレーター

熱機関とは、高温のものから熱を受け取り、その一部を仕事に変え、残りを低温のものへ捨てる装置です。カルノー効率は、どんな機関であれ変換できる最大の割合であり、それを決めるのは二つの温度だけです。η = 1 − T_C/T_H。燃料でも、作動流体でも、設計の巧拙でもなく、温度です。

各記号の意味

T_H, T_C: 高温熱源と低温熱源の温度、単位はケルビン。絶対温度です。式は比なので、原点が任意の目盛りを使えば答えも任意になります。
Q_H: 1 サイクルで高温熱源から受け取る熱量。
Q_C: 低温熱源へ捨てる熱量。機関を機関たらしめているのがこれで、ゼロにはできません。
η: W/Q_H。受け取った熱のうち仕事として出ていく割合。

公式の導き方

まず帳簿から。1 サイクルを終えると機関は元の状態に戻るので、何も蓄えていません。入ったものはすべて出ていきます。W = Q_H − Q_C、したがって η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H。効率はこれで、比 Q_C/Q_H だけの問題になりました。
ここで「まだ排除されていないもの」に注目してください。エネルギー保存だけなら Q_C = 0、η = 1 でも構いません。熱をすべて仕事に変える機関です。熱力学第一法則はそれを禁じません。限界は別のところから来なければなりません。
それはエントロピーから来ます。高温熱源から Q_H を取り出すとその熱源のエントロピーは Q_H/T_H だけ減り、低温熱源へ Q_C を捨てるとそちらは Q_C/T_C だけ増えます。機関自身は元の状態に戻るので、全体の変化はこの二つだけです。第二法則は減少を禁じるので、Q_C/T_C ≥ Q_H/T_H。
整理すると Q_C/Q_H ≥ T_C/T_H。これを手順 1 に代入して η ≤ 1 − T_C/T_H が出ます。等号が成り立つのは全体のエントロピー変化がちょうどゼロのとき、つまり完全に可逆なサイクルのときだけです。カルノーの値は巧妙な設計ではなく、あらゆる設計が測られる天井であり、現実の不可逆性はどれも Q_C を増やして η を下げます。

表示の読み方

左の図は圧力-体積軸で見たサイクルです。T_H と T_C の二本の等温線を二本の断熱線がつなぎ、囲まれた面積が 1 サイクルあたりの仕事です。右の図は同じものを流れとして描いたもので、高温ブロックから Q_H が入り、横へ W が出て、低温ブロックへ Q_C が下りていき、三つの数値がそれぞれの矢印に添えられています。Q_H だけを変えるとループの形はそのままにエネルギーだけが比例して変わり、温度を変えるとループ自体の形が変わります。

前提: 熱を取り出しても一方が冷えず他方が温まらないほど大きな二つの熱源と、可逆に進むサイクル —— 作動流体が常に平衡にあるほどゆっくり動かすこと。温度はどちらもケルビン。さらに、熱源が機関の触れる唯一のものであることも前提です。摩擦はなく、サイクルを通らずに脇へ漏れる熱もありません。
成り立たない場合: ΔS の行は、入力できるどんな値に対してもゼロになります。これは計算の性質であって、機関についての判定ではありません。ここでは Q_C をカルノーの式から得た W を使って Q_H − W として計算しているため、Q_C/T_C と Q_H/T_H は恒等的に等しくなります。この行は「カルノーサイクルこそ可逆サイクルである」ことを確認しているだけで、それ以外は何も検出できません。現実の機関はエントロピーを生みます。それをここで正直に見る方法は、測定した効率をこのページが示す天井と比べることであって、ゼロでない ΔS を探すことではありません。

セルシウス度で計算すると、機関は半分ほど優秀に見える 🖖

このツールの入力はケルビンで表示されていますが、これは形式の問題ではありません。η = 1 − T_C/T_H は絶対温度の比なので、原点が任意に決まった目盛りを入れた瞬間に崩れます。蒸気のプリセット、773 K に対する 373 K を見てください。ツールはこれを 51.7 % と表示します。同じ温度は 500 °C と 100 °C であり、1 − 100/500 は 80 % になります。機関は何も変わっていません。変わったのは目盛りの原点だけです。もっと穏やかな温度ではさらにひどくなります。100 °C 対 20 °C は本当は 21.4 % ですが、セルシウス度では 80 % と読めてしまい、3.7 倍の過大評価です。より深い理由は、この比こそが絶対零度を約束事ではなく実在の場所にしているという点です。効率が 1 に達するのは T_C が 0 に達したときちょうどであり、意味のある原点を持つ目盛りはほかにありません。

効くのは温度だけ 🖖

カルノー効率 η = 1 − T_C/T_H は二つの熱源の温度だけで決まり、燃料や作業気体、機械の巧妙さには一切よりません。両方の温度はケルビンで測る必要があり、300 °C は 30 °C の「10倍熱い」わけではありません。実用的な教訓は、より多くの仕事を得るには温度差を広げること——T_H を上げるか T_C を下げるかです。T_C = 0 K には到達できないため、100% は決して実現しません。

最も効率的な機関は出力ゼロ 🖖

教科書が省きがちな落とし穴があります。カルノー限界に達するには、各行程が可逆であり続けるよう、サイクルを無限にゆっくり動かさねばなりません。しかし無限に遅い機関の出力は限りなくゼロで、実用にはなりません。1975年、カーゾンとアールボーンは代わりに「最大出力時の効率」を問い、η = 1 − √(T_C/T_H) を導きました。1800 K / 600 K の機関では ≈ 42% となり、カルノーの 67% よりも実際の発電所にずっと近い値です。

カルノーの限界 — 天井を決めるもの、そしてそれを上げる代償

あなたはカルノーのどのケースにいますか？

熱機関にできる最善は η = 1 − Tc/Th であり、目を引くのはそこに入っていないものです。燃料も、作動流体も、機械の大きさも入りません。効くのは二つの温度だけ、しかもその比だけ。この一つの式が、天井がどこにあるか、なぜ実際の機関が高温で回るのか、そしてなぜ出来の悪い機関になる同じ装置が優れたヒートポンプになるのかを教えてくれます。

温度比が 2 対 1 — 熱の半分が仕事になる η = 1 − Tc/Th

とても熱い熱源 — 天井は上がるが現実は届かない T_h ↑ ⇒ η ↑

実在する機械 — 低温側は高温側と同じだけ効く T_c ↓ ⇒ η ↑

とても冷たい吸収源 — ぬるい熱源から高い天井 η = 1 − T_c/T_h

温度差が小さい — 機関としては劣り、ヒートポンプとしては優秀 COP = T_c/(T_h − T_c)

温度比が 2 対 1 — 熱の半分が仕事になる

わかっていること: 二つの熱源の温度をケルビンで。η = 1 − Tc/Th。計算に入るものはほかにありません。

効率: η = 1 − Tc/Th

計算例: Th = 600 K に対し Tc = 300 K → η = 1 − 0.5 = 50 %。高温側から取り出した 1000 J のうち 500 J が仕事になり、500 J は低温側へ捨てられます。

このケースを開く: 効率50%

温度比が 2 対 1 — 熱の半分が仕事になる. 入力の半分が仕事になり、半分が低温熱源へ出ていきます。比が配分を決めます。二つの熱源の温度をケルビンで。η = 1 − Tc/Th。計算に入るものはほかにありません。 — 入力の半分が仕事になり、半分が低温熱源へ出ていきます。比が配分を決めます。

とても熱い熱源 — 天井は上がるが現実は届かない

わかっていること: 周囲よりはるかに高い燃焼温度。比 Tc/Th が小さくなるので、理論効率は 1 に向かって登ります。

効率: T_h ↑ ⇒ η ↑

計算例: Th = 2500 K に対し Tc = 300 K → η = 88 %。5000 J のうち、限界は 4400 J の仕事を許し、捨てるのは 600 J だけです。

このケースを開く: 自動車エンジン

とても熱い熱源 — 天井は上がるが現実は届かない. 熱い熱源は、少なくとも原理の上では、捨てる熱を細い流れにまで絞ります。周囲よりはるかに高い燃焼温度。比 Tc/Th が小さくなるので、理論効率は 1 に向かって登ります。 — 熱い熱源は、少なくとも原理の上では、捨てる熱を細い流れにまで絞ります。

実在する機械 — 低温側は高温側と同じだけ効く

わかっていること: 二つの温度は作動流体と復水器が決めます。Tc を下げることは、同じ比だけ Th を上げるのとちょうど同じだけ効きます。

効率: T_c ↓ ⇒ η ↑

計算例: Th = 773 K に対し Tc = 373 K → η = 51.7 %。2000 J から 1035 J の仕事が出て、965 J を捨てます。

このケースを開く: 蒸気機関

実在する機械 — 低温側は高温側と同じだけ効く. 二つの熱源はどちらもてこです。復水器の温度はボイラーと同じ確かさで天井を動かします。二つの温度は作動流体と復水器が決めます。Tc を下げることは、同じ比だけ Th を上げるのとちょうど同じだけ効きます。 — 二つの熱源はどちらもてこです。復水器の温度はボイラーと同じ確かさで天井を動かします。

とても冷たい吸収源 — ぬるい熱源から高い天井

わかっていること: 高温側はただの室温ですが、低温側は液体窒素です。効くのは比であって、熱源がどれだけ熱く感じられるかではありません。

効率: η = 1 − T_c/T_h

計算例: Th = 300 K に対し Tc = 77 K → η = 74.3 %。500 J から限界は 372 J の仕事を許します。

このケースを開く: 極低温

とても冷たい吸収源 — ぬるい熱源から高い天井. 冷たい吸収源は熱い熱源と同じ仕事をします。効くのは二つの比だけだからです。高温側はただの室温ですが、低温側は液体窒素です。効くのは比であって、熱源がどれだけ熱く感じられるかではありません。 — 冷たい吸収源は熱い熱源と同じ仕事をします。効くのは二つの比だけだからです。

温度差が小さい — 機関としては劣り、ヒートポンプとしては優秀

わかっていること: 二つの熱源が近い場合。効率は崩れますが、同じ循環を逆に回すと非常に有効になります。

効率: COP = T_c/(T_h − T_c)

計算例: Th = 350 K に対し Tc = 300 K → η = 14.3 %。1000 J からわずか 143 J の仕事です。逆に回せば成績係数は Tc/(Th − Tc) = 6.0。

このケースを開く: 低効率

温度差が小さい — 機関としては劣り、ヒートポンプとしては優秀. 狭い温度差は、機関としては熱の大半を無駄にし、逆向きには熱を安く運びます。二つの熱源が近い場合。効率は崩れますが、同じ循環を逆に回すと非常に有効になります。 — 狭い温度差は、機関としては熱の大半を無駄にし、逆向きには熱を安く運びます。

参考文献 (2)

Insight block 3 — efficiency at maximum power, not at zero power: F. L. Curzon and B. Ahlborn, "Efficiency of a Carnot engine at maximum power output." American Journal of Physics 43(1), 22–24, 1975 — where η = 1 − √(T_C/T_H) comes from.
The limit itself: S. Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier, Paris, 1824.

全プロセスの詳細解説

600 Kと300 Kの間で1000 Jを吸収する熱機関 5 ステップ
熱機関が 600 K と 300 K の間で作動し、1000 J を吸収します。この機関が生み出し得る最大の仕事を求めなさい — そして、高温側を上げる方が低温側を冷やすよりも効果的である理由を確かめなさい。
1. 可逆サイクルは初期状態に戻るため、エントロピーも同様に戻らなければなりません。この単一の要求事項が、機関の設計を考慮する前に、2 つの熱移動と 2 つの温度を結びつけます。
  
  $\oint \frac{δ Q}{T} = 0 ⟹ \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{Q _{C}}{T _{C}}$
2. 効率とは流入熱量に対する取り出した仕事の割合であり、仕事とは排出されなかった熱量そのものです。エントロピーの条件を代入すると熱量が完全に消去され、温度だけが残ります。
  
  $η = \frac{W}{Q _{H}} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$
3. 計算します。上のシミュレーターは結果だけでなくこの代入過程を示していますが、それこそが重要な点です。答えは作業物質、圧力、機械構造のいずれにも依存しません。
  
  $η = 1 - \frac{300}{600} = 0.500$
4. したがって、1000 J のうち 500 J は捨てる必要があります。機関の作りが悪いからではなく — これらの温度間で作動する完全に可逆な機関であっても、まったく同じ量を捨てることになるからです。
  
  $W = η Q_{H} = 0.500 \times 1000 = 500 J, Q_{C} = 1000 - 500 = 500 J$
5. では、提示された二つの改良案を比べてみましょう。高温側を200 K上げて800 Kにするか、環境条件の許す範囲で低温側を50 K下げて250 Kにするかです。別の熱機関で仕事を費やさないかぎり、周囲温度より低く冷却することはできません。
  
  $T_{H} = 800 K, T_{C} = 300 K : η = 0.625; T_{C} = 250 K : η = 0.583$
解答

500 J、1 ジュールたりともそれ以上は不可能です。 高温熱源を 800 K に上げると η = 0.625 となります。低温側は環境によって下限が決まっているため、実際の効率向上はほぼ常に高温側から得られます。ジェットエンジンが特殊合金や羽根冷却を用いてタービン入口温度を追求する理由、そして発電所の冷却塔が設計上の失敗ではない理由はそこにあります — 排出される 500 J は熱力学第二法則によって必要とされているのです。ここでの限界は工学上の問題ではなく、完璧な熱機関であっても全く同じ数値に達します。

$η_{m a x} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} (temperatures in K, always)$
サイクル全体を逆方向に動作させた場合の50.0%の効率 6 ステップ
パネルは効率 50.0%、そして全エントロピー変化ちょうど 0.0000 を表示します。この 0 のほうが面白い数です——これはサイクル全体を逆向きに回してよいという許可証だからです。回してみて、カルノー機関が何に変わるのかを問いましょう。
1. パネルがすでに立っている場所から始めます。高温源から取り出した熱の半分が仕事として出ていき、残りの半分は低温側へ捨てられる。ここでの 50% とはそういう意味で、1000 J 入れて 500 J 出てきます。
  
  $η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} = 1 - \frac{300}{600} = 0.500, W = η Q_{H} = 500 J, Q_{C} = Q_{H} - W = 500 J$
2. 次にエントロピーの行です。低温源が得るものと高温源が失うものは大きさが等しく符号が逆なので、合計は 0 になります。そしてエントロピー変化が 0 の過程は、定義によって可逆です。サイクルのどこにも向きの好みはありません。
  
  $Δ S = \frac{Q _{C}}{T _{C}} - \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{500}{300} - \frac{1000}{600} = 1.6667 - 1.6667 = 0$
3. ならば逆に回しましょう。仕事を 500 J 押し込むと、サイクルは低温側から 500 J を汲み上げ、高温側に 1000 J を届けます。仕事で割れば、費やした仕事 1 単位あたり届く熱は 2 単位——これはちょうど 1/η です。
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1000}{500} = 2 = \frac{1}{η}, \frac{Q _{C}}{W} = \frac{500}{500} = 1$
4. どちらの比にも名前を与える価値があります。仕事あたりの供給熱は 2、仕事あたりの低温側からの汲み上げ熱は 1。その差はつねに厳密に 1 で、偶然ではありません。2 つの熱の差がすなわち仕事だからです。
  
  $\frac{Q _{H}}{W} - \frac{Q _{C}}{W} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{W} = \frac{W}{W} = 1 \forall T_{H} > T_{C}$
5. ここからが住宅で効いてくる数です。比を温度だけで書き直すと、室内 20 °C に対し屋外 0 °C なら差は 20 K、理想値は 14.65——電気 1 ジュールあたり暖房 15 ジュール近くです。
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : T_{H} = 293 K, T_{C} = 273 K ⟹ \frac{293}{20} = 14.65$
6. 2 つの向きは逆に引き合い、そこが痛いところです。温度差を詰めるとヒートポンプは見事になり、同時に機関は使い物にならなくなります。
  
  $T_{H} - T_{C} \to 0 : \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} \to \infty, η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} \to 0$
解答

カルノー機関を逆に回せば、その効率は成績係数 1/η に変わります——ここでは 2、つまり仕事 500 J に対して 1000 J の供給熱です。これは 200% と読めますが、何も破っていません。ヒートポンプは熱を作るのではなく運ぶからです。機関の敵はヒートポンプの味方で、293 K 対 273 K なら理想値は 14.65、実機は 3〜5。14.65 と 4 の隔たりはすべて不可逆性——パネルのエントロピー行がもはや 0 でなくなる分です。

$\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1}{η} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : 2 (600/300 K), 14.65 (293/273 K)$

42Math チーム · 更新 2026-07-29

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

効率50% - 覚えておくとよいきりのいい数値。600 K に対して 300 K は比をちょうど半分にし、効率は正確に 50.0%。入力 1000 J のうち 500.0 J が仕事として出てくる
自動車エンジン - 2500 K のガソリン火炎から 300 K へ排気すれば 88.0%、5000 J ごとに 4400.0 J。実際のエンジンはこの天井の三分の一にも届かない
蒸気機関 - 773 K に対して 373 K は 51.7%。過熱蒸気を復水器へ送っても、熱の半分しか仕事にならない
極低温 - 低温側を 77 K の液体窒素にすると、室温からでも 74.3%。低温側のほうが安上がりなてこであり、その理由がここに見える
低効率 - 350 K に対して 300 K は 14.3%。50 度の温度差では、どれだけ丁寧に作っても悪い機関にしかならない。式が言いたいのはまさにそこ