逆二乗則エクスプローラー

力、放射照度、フラックスはすべて1/r²で減衰します — 表面積が4πr²で増加する球面上に広がるためです。

計算例 — 逆二乗則エクスプローラー

G	6.674×10⁻¹¹ Nm²kg⁻²
m₁	5.97×10²⁴ kg
m₂	1 kg
距離 r	6.37×10⁶ m
r²	4.06×10¹³ m²
球の表面積 4πr²	5.10×10¹⁴ m²

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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ボイジャー1号は22Wで動いている — それでも私たちは信号を受信できる 🖖

ボイジャー1号は現在、太陽から約163天文単位（≈ 2.4 × 10¹³ m）離れています。これを放射照度の式に当てはめると:E = 3.828 × 10²⁶ / (4π × (2.4 × 10¹³)²) ≈ 0.051 W/m² — 地球上の太陽光に比べて約26,600分の1、ちょうど163²分の1の明るさです。太陽電池パネルは役に立たないでしょう。そのためボイジャーは放射性崩壊（放射性同位体熱電発電機）を利用し、約250Wの使用可能な電力を得ています。無線送信機の出力はわずか22W — 暗いLEDテープと同程度です。信号が地球のディープスペースネットワークのアンテナ（直径70m）に届くころには、1/r²の法則によって、その22Wは太陽系内側ほどの大きさの球面全体に広がってしまっています。受信電力はおよそ10⁻¹⁸ W。だからこそ受信アンテナは巨大でなければならず、NASAは信号をかろうじて聞き取るために受信機を絶対零度近くまで冷却する必要があるのです。同じ法則、同じ幾何学 — 顔を温める太陽光であっても、人類が送り出した最も遠い人工物のささやきであっても。

距離が2倍でなぜ明るさは4分の1になるのか 🖖

この法則は純粋な幾何学です。点源から出たエネルギーは広がっていく球の表面に均等に分布し、その表面積は 4πr² に比例して大きくなります。距離を2倍にすると同じエネルギーが4倍の面積に広がるため、強度は半分ではなく4分の1に落ちます。たき火から離れると急に寒くなるのはこのためで、このツールが重力・光・電気力を同じ曲線で描くのもそのためです。

1/r² 法則は3次元空間の指紋である 🖖

指数は恣意的ではなく、空間次元の数から1を引いた値に等しいのです。3次元では球の表面積が r² に比例して増えるため、1/r² になります。仮に4次元の宇宙なら重力は 1/r³ で減衰し、パウル・エーレンフェストは1917年に、その場合は惑星軌道が不安定になることを示しました——惑星は恒星へ落ち込むか、飛び去ってしまいます。安定した太陽系、ひいては生命の存在は、空間がちょうど3次元であることに依っているのかもしれません。

全プロセスの詳細解説

衛星が静止する唯一の軌道 5 ステップ
地球は地表において 1 kg の物体を 9.82 N の力で引いている。これだけを用いて、人工衛星が赤道上の一点の上空に静止し続ける唯一の軌道を求めよ。これは m₁ = 5.972 × 10²⁴ kg、m₂ = 1 kg、r = 6371 km とした重力の設定である。
1. 数値をあてはめたニュートンの法則。この後重要になるのは 9.82 N そのものではなく、SI 単位系における積 GM = 3.986 × 10¹⁴ である。人工衛星自身の質量はこのあと消去され、二度と現れないからである。
  
  $r^{2} = (6.371 \times 1 0^{6})^{2} = 4.06 \times 1 0^{13} m^{2}; F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14} \times 1}{4.06 \times 1 0 ^{13}} = 9.82 N$
2. 円軌道では、この万有引力による加速度がそのまま向心加速度として費やされる。両者を等しいとおくことで軌道上の物体の質量が消去され、1つの半径と1つの角速度の間の単一の関係式が残る。
  
  $\frac{GM}{r ^{2}} = ω^{2} r ⟹ r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
3. 角速度は自由に選べるものではなく、条件として与えられる。固定された点の上空にとどまるには、人工衛星は地球と完全に同期して回転しなければならない。地球が1回転するのに要する時間は 86,400 s ではなく 86,164 s である。これは、1太陽日の間に地球が軌道上を進んだ距離の分も自転で補う必要があるためである。86,400 を用いると軌道が 77 km 高くなりすぎ、誤った半径に位置する衛星はその点の上空にとどまることができない。
  
  $ω = \frac{2 π}{86 164 s} = 7.292 \times 1 0^{- 5} rad/s, ω^{2} = 5.318 \times 1 0^{- 9} s^{- 2}$
4. 3乗根をとる。得られる 42,163 km は地球の中心からの距離であるため、パネルにあらかじめ表示されている 6371 km を差し引くと高度は約 35,790 km となる。一般によく引用される 35,786 km という値は、7 km 大きい赤道半径から測定した同じ軌道のことである。
  
  $r^{3} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{5.318 \times 1 0 ^{- 9}} = 7.495 \times 1 0^{22} m^{3} ⟹ r = 4.2163 \times 1 0^{7} m = 42163 km$
5. その上空での重力は、このページで描かれているまさにその法則に従う。半径は 6.62 倍に広がるため、引力はその 2 乗の分だけ弱くなっている。
  
  $(\frac{42 163}{6371})^{2} = 43.8 ⟹ g (r) = \frac{9.82}{43.8} = 0.2242 m/ s^{2}$
解答

ツールは 1 kg に対する力として 9.82 N、距離の 2 乗として 4.06 × 10¹³ m² を表示する。そこから導かれるのは、誰かが意図的に選んだ高度ではない。42,163 km は軌道周期が地球の自転と一致する唯一の半径であり、したがって静止軌道は設計上の選択肢ではなく、物理的条件の帰結である。これにより静止軌道帯は周囲 264,900 km の 1 つの円となり、定位置にとどまる必要があるすべての人工衛星（テレビ放送、気象観測、多くの通信中継）はその円上のどこかに位置しなければならない。この円の 1 度は 736 km に相当するため、軌道スロットは早い者勝ちの権利主張ではなく国際条約によって配分されている。そしてその上空での引力は足元よりも 43.8 倍弱く、これはこのページの 1/r² 曲線を地球半径の 6 倍半まで追跡した結果である。

$r_{GEO} = 3 \frac{GM}{ω ^{2}} = 42163 km, 2 π r_{GEO} = 264900 km$

参考文献 (1)

Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

42Math チーム · 更新 2026-08-17

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例題

地球表面 - 地表の重力(m2=1 kg):F≈9.8 N — これは1 kg重に相当する
月の軌道 - 月の公転距離では、1 kgに働く力はF≈0.0027 N — 地表の約3600分の1
地球における太陽光 - 地球における太陽光(1 AU):放射照度≈1361 W/m² — 太陽定数
距離2倍 - 地球の2倍の距離では放射照度が≈340 W/m²まで低下 — ちょうど太陽定数の¼
陽子 - 1 fmでの陽子間のクーロン力:≈230 N — これを上回るのが強い力