信号のサンプリングとナイキストの定理

8 ビット変換器について、1 ビットあたり 6 dB の法則をゼロから導出せよ（唐突に現れる 1.76 はどこから来るのか？）。そして、この法則が何を保証しないかを述べよ。

1. 最も近いレベルへと丸めることで生じる誤差は半ステップ以下であり、複雑に変化する信号においては、その誤差は区間全体に均等に広がる。その分散は、一様分布における e² の積分となる。

   $$\Delta =\frac{V_{FS}}{2^N},e\sim \mathcal{U}\left(-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right),{\sigma }_e^2=\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}{e}^{2}de=\frac{{\Delta }^2}{12}$$

2. 参照信号は入力範囲全体を満たす正弦波であるため、その電力は振幅の二乗の半分となる。

   $$P_{\text{sig}}=\frac{(V_{FS}/2{)}^2}{2}=\frac{V_{FS}^2}{8}$$

3. 両者を割り算する。フルスケール範囲が相殺されるため、結果は電圧ではなく純粋にビット数の関数となる。

   $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{FS}^2/8}{{\Delta }^2/12}=\frac{12}{8}{\left(\frac{V_{FS}}{\Delta }\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}$$

4. 対数を取る。6.02 は 20 log₁₀2 であり（1 ビットでレベル数が 2 倍になる）、1.76 は前行から残された 3/2 である。

   $$\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\frac{3}{2}+20N{\log }_{10}2=1.76+6.02N$$

5. 8 ビット、次いで 16 ビットで評価する。追加の 1 ビットごとに 6 dB 強の価値があるため、CD オーディオの 8 ビットの追加は 48 dB を買っていることになる。

   $$N=8:6.02(8)+1.76=49.92\mathrm{dB};N=16:98.08\mathrm{dB}$$