因果関係サンドボックス

異なる因果構造から合成データを生成し、相関と傾きがどう変化するかを観察する。

計算例 — 因果関係サンドボックス

相関(X,Y)	−0.8871
傾き Y~X	−0.8077
相関(X,Z)	0.9452
相関(Y,Z)	−0.9315

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因果グラフが相関表に勝る理由 🖖

相関は2つの変数が一緒に動くことを示すだけで、なぜ動くかは示さない。同じ数値でも、根本的に異なる3つの構造から生じうる。

直接の原因(X → Y): X を取り除くと Y が変化する。
交絡因子(Z → X、Z → Y): Z が両方の原因であり、X と Y は相関しているが、どちらも相手の原因ではない。Z を制御すると相関は消える。
合流点(X → Z ← Y): X と Y は独立しているが、Z で選抜または条件付けを行うと、両者の間に見せかけの関係が生まれる。グラフ中の有向非巡回グラフ(DAG)は、どの変数が原因でどれが結果かを示している。これがなければ、単一の相関係数だけからこれらのケースを区別することはできない——だからこそ因果推論は常に相関行列ではなく構造モデルから始まる。

相関は見ること、因果は介入すること 🖖

ここで肝心なのは、変数を観察することと、変数に介入することの違いです。交絡因子も合流点も、背後にある過程によって形づくられたデータしか観察できないため、判断を誤らせます。無作為化実験は、この難点を断ち切ります。コイントスでXを割り付ければ、Xへ入る矢印はすべて切れます。それでもYとの相関が残るなら、因果関係があるといえます。だからこそ、観察データをいくら集めても決着しない問いに、比較対照試験なら答えを出せるのです。

バークレー入学審査のパラドックス 🖖

シンプソンのシナリオは机上の遊びではない。1973年、カリフォルニア大学バークレー校の大学院入学では男性の約44%が合格したのに対し女性は35%で、差別を疑わせた。ところが学部ごとに見ると女性の合格率はむしろわずかに高く、単に女性が最も競争の激しい学部に大挙して出願していただけだった。学部を通じて合算すると集団内の傾向が逆転する——このツールの破線がなぞるのは、まさにその逆転である。

全プロセスの詳細解説

Zを一定に保ったときの、400個のデータにおける相関係数−0.8871 6 ステップ
400個のデータにおいて、XとYの相関係数は−0.8871です。Zを一定に保ったとき、この相関がどの程度残るかを計算し、それぞれの数値についてどの程度の信頼性が認められるか述べてください。
1. 3つの相関はすべて、同じ400個のデータ点から測定されたものである。以下に示すものはすべてこれら3つの数値に基づく算術であり、これ以上データにアクセスする必要がない点が有益な部分である。
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. 偏相関は、XとYのそれぞれからZによって説明される部分を差し引いた後に、X–Yに何が残るかを問うものである。公式は2つの残差の相関であり、生の相関の形で書き表される。
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. 分子によって答えが決定される。Xに対するZの効果とYに対するZの効果の積が、観測された0.8871のうち0.8805を占めており、この相関はシグナルではなく影である。
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. 分母はスケールを調整するだけである。分母がZによって説明されない分散から構築されていることに注目されたい。ほぼすべてを説明するZによって推定が不安定になるのはこれが理由である。
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1323 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. さて、両方にエラーバーを設定してみましょう。フィッシャーの変換によって相関係数はほぼ正規分布になります。そこに√(n−3)を掛ければ、ゼロからの距離が標準誤差単位で求まります。偏相関の場合はZのために自由度を一つ消費しているので、掛ける値は√(n−4)です。
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 - k : r = - 0.8871 (k = 0) \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 (k = 1) \Rightarrow z = - 1.10$
6. 目安として、ゼロ付近でのrの標準誤差は1/√(n−3)です。これが0.050になるため、−0.055という偏相関は標準誤差一つ分をわずかに超えた位置にあると言えます。
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
解答

相関はほとんど残らず、−0.0553となります。両者をフィッシャーのz変換にかけると、単相関はゼロから28標準誤差離れているのに対し、偏相関はわずか1.1です。これは、データの中で最も確かな結果と、四回に一回はノイズから生じるような結果との違いです。これには見過ごせない注意点が二つあります。計算式の分子が0.8871と0.8805というほぼ等しい数の差になるため、四桁の数値を代入しても答えには辛うじて二桁の精度しか残りません。さらに、この計算自体からはZが媒介変数ではなく交絡因子であるとは判断できないのです。それはZが何であるかを知っていて初めて分かる知識です。交絡因子を統制して見せかけの効果を消し去るのと全く同じように、媒介変数を統制することは真の効果を完全に打ち消してしまいます。

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

参考文献 (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

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