因果関係サンドボックス

異なる因果構造から合成データを生成し、相関と傾きがどう変化するかを観察する。

計算例 — 因果関係サンドボックス

相関(X,Y)	−0.8871
傾き Y~X	−0.8077
相関(X,Z)	0.9452
相関(Y,Z)	−0.9315

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因果グラフが相関表に勝る理由 🖖

相関は2つの変数が一緒に動くことを示すだけで、なぜ動くかは示さない。同じ数値でも、根本的に異なる3つの構造から生じうる。

直接の原因(X → Y): X を取り除くと Y が変化する。
交絡因子(Z → X、Z → Y): Z が両方の原因であり、X と Y は相関しているが、どちらも相手の原因ではない。Z を制御すると相関は消える。
合流点(X → Z ← Y): X と Y は独立しているが、Z で選抜または条件付けを行うと、両者の間に見せかけの関係が生まれる。グラフ中の有向非巡回グラフ(DAG)は、どの変数が原因でどれが結果かを示している。これがなければ、単一の相関係数だけからこれらのケースを区別することはできない——だからこそ因果推論は常に相関行列ではなく構造モデルから始まる。

相関は見ること、因果は介入すること 🖖

ここで肝心なのは、変数を観察することと、変数に介入することの違いです。交絡因子も合流点も、背後にある過程によって形づくられたデータしか観察できないため、判断を誤らせます。無作為化実験は、この難点を断ち切ります。コイントスでXを割り付ければ、Xへ入る矢印はすべて切れます。それでもYとの相関が残るなら、因果関係があるといえます。だからこそ、観察データをいくら集めても決着しない問いに、比較対照試験なら答えを出せるのです。

バークレー入学審査のパラドックス 🖖

シンプソンのシナリオは机上の遊びではない。1973年、カリフォルニア大学バークレー校の大学院入学では男性の約44%が合格したのに対し女性は35%で、差別を疑わせた。ところが学部ごとに見ると女性の合格率はむしろわずかに高く、単に女性が最も競争の激しい学部に大挙して出願していただけだった。学部を通じて合算すると集団内の傾向が逆転する——このツールの破線がなぞるのは、まさにその逆転である。

全プロセスの詳細解説

Zを固定した400点における−0.887の相関 6 ステップ
400個の点においてXとYは−0.887で相関している。Zを固定したときにそのうちどれだけが残るかを求め、どちらの数値にどれほどの確信を持てるかを述べよ。
1. 3つの相関はすべて、同じ400個のデータ点から測定されたものである。以下に示すものはすべてこれら3つの数値に基づく算術であり、これ以上データにアクセスする必要がない点が有益な部分である。
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. 偏相関は、XとYのそれぞれからZによって説明される部分を差し引いた後に、X–Yに何が残るかを問うものである。公式は2つの残差の相関であり、生の相関の形で書き表される。
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. 分子によって答えが決定される。Xに対するZの効果とYに対するZの効果の積が、観測された0.8871のうち0.8805を占めており、この相関はシグナルではなく影である。
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. 分母はスケールを調整するだけである。分母がZによって説明されない分散から構築されていることに注目されたい。ほぼすべてを説明するZによって推定が不安定になるのはこれが理由である。
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1322 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. 次に、両者にエラーバーを設定する。フィッシャー変換は相関をほぼ正規分布に従うものへと変換し、√(n−3) を掛けることで、標準誤差単位でのゼロからの距離が得られる。
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 : r = - 0.8871 \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 \Rightarrow z = - 1.10$
6. 大まかな確認として、ゼロ付近での r の標準誤差は 1/√(n−3) である。0.050 において、−0.055 という偏相関は1標準誤差分外れている。
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
解答

ほとんど残らない：−0.0553。両者をフィッシャーのzに変換すると、元の相関はゼロから28標準誤差離れているのに対し、偏相関は1.1離れているだけである — データセット内で最も確実な事象と、4分の1の確率でノイズから予想される結果との違いである。これには2つの注意点が伴う。偏相関は0.8871に対する0.8805というほぼ等しい2つの数値の差であるため、入力した4桁の数字から得られる答えの有効数字はわずか2桁程度に過ぎない。そして、この算術はZが媒介因子ではなく交絡因子であることを教えてはくれない。それはZが何であるかを知ることから得られたものである。媒介因子で条件付けることは、交絡因子で条件付けることが偽の効果を消失させるのとまったく同じくらい徹底的に、真の効果を消失させる。

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

参考文献 (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

42Math チーム · 更新 2026-06-04

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例題

因果 - XはYの原因であり、ほかに原因はありません。r = 0.9401で、Zを固定しても0.9400です。このグラフにはZにつながる矢印がないので、Zを調整しても何も変わりません。これが対照例です。
交絡 - XとYの間ではr = -0.8871ですが、どちらも他方の原因ではありません。Zを固定すると-0.0553まで小さくなります。相関のほぼすべてを生み出していたのはZです。
合流点 - XとYは、設定上は独立です。Zで選別すると400点のうち143点が残り、その時点ですでにr = -0.4288となります。さらにZで条件づけると-0.8127まで下がります。この関連は、すべて選別によって作られたものです。
シンプソン - 全体をまとめた傾きは+0.121ですが、2つの部分群ではそれぞれ-0.619と-0.624です。個々の傾向はいずれも右下がりなのに、全体では右上がりになります。