偶然の集中(連続パターンのパラドックス)

コイン投げの長い連続が思っているよりずっとよくある理由

初期値 — 偶然の集中(連続パターンのパラドックス)

連続の長さ (L)	6
シミュレーション試行回数 ℹ️	1000

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インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

奇妙だったのは輪盤ではない 🖖

1913年8月18日、モンテカルロの賭博場の輪盤は二十六回続けて黒に落ち、周りの客は財産を失いました——きっとそろそろ来るはずの赤に、どんどん賭けたのです。赤はそろそろ来る番ではありませんでした。一回ごとの配当は変わらず三十七分の十八で、連続そのものはただ稀だっただけです。ある一回が二十六連続の黒の始まりになる確率は、およそ一億三千七百万分の一。名前だけは残りました——賭博者の誤謬は今もモンテカルロの誤謬と呼ばれます。この道具を百回に設定すると、六連続は80.7%の割合で現れます。どの設定でも変わらないのは、次の一回です。

長い連続がほぼ確実な理由 🖖

直感では表と裏がきれいに交互に出ると思いがちですが、偶然はかたまりを作ります。同じ結果が続く最長の連（ラン）は試行回数とともに増え、おおよそ log₂(N) になります。公正なコインを100回投げれば、6回連続の連が出ないことより出ることのほうが多いのです。このツールでは N を増やすと連の確率曲線が急に立ち上がり、その直感が崩れる様子を見られます。

偽造されたコイン投げ記録を見破る 🖖

学生に本物のコインを投げる代わりにこっそり200回分を捏造させると、統計学者はたいてい一目で偽物を見抜けます。「ランダム」な列を作る人は6回や7回連続で同じ結果が並ぶ連をほとんど書かないのに、本物の記録にはほぼ必ずそれが含まれるからです。この教室での実演（数学者セオドア・ヒルが広めた）は、人間が本物の偶然に必ず現れるかたまりをならしてしまうことを示します。

全プロセスの詳細解説

6 回連続の同一結果（公正なコインの 100 回のトス） 5 ステップ
公正なコインを100回投げたとき、そのどこかで6回連続して同じ結果が出るかどうかが問題である。条件を回避する系列を数え上げるが、2¹⁰⁰通りの系列を1つずつ数えるわけではない。
1. 系列を極大ランに分割する。6連続の発生を回避するということは、すべてのランの長さが5以下であることを意味するため、数え上げる対象は100を1から5までの数の順序付きの和として表す方法の数となり、最初の投擲がどちらの面でもよいため2倍される。その総数を R(i) と置くと、長さ j の先頭のランの後に R(i − j) が残るため、許容される5通りの長さによって5つの項が得られる。
  
  $R (i) = R (i - 1) + R (i - 2) + R (i - 3) + R (i - 4) + R (i - 5), R (0) = 1$
2. 個数の代わりに確率で扱うために 2^N で割ると、長さ j の各部分は 2^−j という因子を伴う。6回未満の投擲は無条件で安全であるため、q₁ から q₅ までは 1 となり、最初の計算値は手計算で検証できる。6回投擲の64通りの系列のうち、すべて同じ面になるのは正確に2通りであるため、q₆ = 31/32 となる。
  
  $q_{N} = \frac{2 R ( N )}{2 ^{N}} = j = 1 \sum 5 2^{- j} q_{N - j}, q_{6} = \frac{31}{32}$
3. 11回以下の投擲までは近道が存在する。6連続のランが2つ並ぶには12回の投擲が必要だからである。それ未満では2つの連続を含む系列は存在しないため、連続が発生する確率はその期待値と正確に一致する。すなわち、第1投から始まるランの確率は 2/64 であり、それ以降の開始位置では（直前の投擲が異なる面である必要があるため）それぞれ 1/64 となる。N = 10 のとき、この値は 6/64 となるため、一切の近似なしに q₁₀ = 29/32 = 0.90625 となる。
  
  $1 - q_{N} = \frac{2}{64} + \frac{N - 6}{64} = \frac{N - 4}{64} (6 \leq N \leq 11)$
4. 11回を超えるとイベントが重複して数え上げの近道は使えなくなるが、漸化式は安定した等比級数的な減衰へと収束する。q_N = Ax^N を代入すると、2x の5つの累乗の和が 1 となり、等比級数の公式によってこれら5つの項が1つの式 y = 2 − y⁻⁵ （ただし y = 2x）にまとめられる。y = 2 から反復計算を行うと、4ステップ — 1.968750, 1.966190, 1.965969, 1.965950 — で y = 1.965948 へと収束し、x = 0.982974 が得られる。
  
  $1 = j = 1 \sum 5 (2 x)^{- j} ⟹ y = 2 - y^{- 5}, y = 2 x = 1.965948$
5. N = 10 における正確な基準点から N = 100 の目標点までは90回の投擲がある。N = 10 では等比級数的減衰が始まったばかりであるため、これは近似に過ぎないが、誤差の補正は十分急速に減衰するため、ツールが正確な漸化式から出力する2桁の小数点を再現する。
  
  $q_{100} \approx q_{10} x^{90} = 0.90625 \times 0.98297 4^{90} = 0.1932 ⟹ P = 0.8068$
解答

100回の投擲系列のうち 19.32% が回避されるため、表に示された 80.68% という数値は、6連続の発生が気味の悪い偶然ではなくごく普通の出来事であることを物語っている。教訓となる数値は 0.982974 である。投擲が1回増えるごとに回避の確率は 1.7% 減少し、40.4回ごとに半減する。逆に辿れば五分五分の確率に達するのは 45 回の投擲であり、先に進めれば 180 回の投擲で綺麗な系列は 5% 未満しか残らない。正確な解の列の隣にあるシミュレーション列は、異なる種類の数値である。80.68% の事象の 1000 回の試行による推定値は √(0.8068×0.1932/1000) = 1.25 パーセントポイントの標準偏差を伴うため、試行ごとに1ポイント以上変動し、このツールの限度である 10,000 回の試行であってもなお ±0.39 ポイント変動する。正確な列の小数第2位には意味があるが、シミュレーション列のそれには意味がない — これこそがまさに下にある z の行が測定しているものである。

$\frac{ln 2}{- ln 0.982974} = 40.4, σ = \frac{0.8068 \times 0.1932}{1000} = 0.0125$

参考文献 (2)

Insight block 3 — why a fabricated coin-flip log gives itself away: T. P. Hill, "The Difficulty of Faking Data." CHANCE 12(3), 27–31, 1999.
And the general result behind the tool: P. Diaconis and F. Mosteller, "Methods for Studying Coincidences." Journal of the American Statistical Association 84(408), 853–861, 1989 — why surprising runs are expected rather than remarkable.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

100回投げ、連続6 - コインを100回投げて表または裏が6回連続する確率を調べると、正確な値は80.7%になる。多くの人は6連続を非常に珍しいと考えるが、100回の試行では起こる方がむしろ可能性が高い。
50回投げ、連続5 - コインを50回投げると、表または裏が5回連続することは十分に起こりうる現象であり、その確率は82.1%である。
150回投げ、連続7 - コインを150回投げると、表または裏が7回連続する確率は69.7%になる。これは、試行回数が多くなるほど同じ結果の連続(クラスター)が避けられなくなることを示している。