デジャヴ検出器

ランダムな列は不思議と見覚えがあるように感じられることがあります

初期値 — デジャヴ検出器

系列の長さ	40
パターンのウィンドウサイズ	3
シミュレーション試行回数	3000

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

確実になるには120個、五分五分なら13個 🖖

鳩の巣原理が教えるのは、繰り返しが避けられなくなる時点です。三つ組みの窓は64通りしかないので、120個の並びには118個の窓があり、重複から逃れられません。では繰り返しが起こりやすくなるのはいつか——そこは誕生日の見積もりの領分で、ずっと早く、だいたい 1.177 × √64 ≈ 9 窓のあたりです。この道具自身の窓カウンタに20万本の乱れた並びを通すと、境目は長さ13、窓11個、51.2%に落ち着きます。この道具が引く最短の並びである10個でも、すでに30.5%の割合で重複し、最小の見本である30個では99.6%です。見覚えは、保証を待ってはくれません。

なぜ見覚えのあるパターンは避けられないのか 🖖

「これ前に見た」という閃きは脳のパターン検出が働いているだけで、わずか4種類の記号からなる短い列では、局所的な繰り返しは不気味ではなくごく普通です。窓の大きさが3なら可能なパターンは 4³ = 64 通りしかないので、120記号の列(118個の窓)は鳩の巣原理により少なくとも1つを必ず繰り返します。このツールは実際の繰り返し回数を数え、ランダムな基準値と比較して、本物の驚きとありふれた偶然を切り分けます。

ひとかたまりになりやすいパターンがある 🖖

同じ長さの2つの窓でも、かたまりやすさは同じではありません。AAAA や ABAB のような自己重複するモチーフは、自分自身をずらした複製と重なり得るため、一度現れると直後に再び現れやすく、ABCD のような重複しない窓よりも繰り返し回数の分散が大きくなります。GuibasとOdlyzkoはこれをパターンの自己相関として定式化しました。つまり感じるデジャヴュは、長さだけでなく、どのモチーフが再来するかに左右されるのです。

全プロセスの詳細解説

3 シンボルのウィンドウ（50 シンボルのストリーム上をスライド） 6 ステップ
A, B, C, D の4文字から50個の記号のストリームが生成され、その上を3記号のウィンドウがスライドする。これがパネルの「長さ 50、ウィンドウ 3」の状態である。それらのウィンドウのうち、すでに登場したパターンを示すものは平均して何個存在するか。その個数を導出し、重複が発生する確率が五分五分を超える最短のストリームを求めよ。
1. 他のものを数える前に、まずウィンドウの数を数える。3記号のウィンドウは位置 1 から始まり、48 までのすべての位置から始まることができる。49 から始めると末尾からはみ出してしまうからである。これにより 48 個のウィンドウが得られ、この 48 はパネル上のすべての重複カウントが報告される分母となる。
  
  $N = L - w + 1 = 50 - 3 + 1 = 48$
2. 次に、それらのパターンとしてあり得るものを数える。3つのスロットにそれぞれ4つの文字が入るため、64通りのパターンが存在する。パターン数よりもウィンドウ数の方が少ないため、必然的に重複が発生するわけではない — ここでは鳩ノ巣原理は何の結論ももたらさず、起こる事象はすべて確率によるものである。
  
  $K = 4^{w} = 4^{3} = 64, N = 48 < K = 64$
3. 問いを裏返して、特定のパターン、たとえば ABD に注目します。一つの窓が ABD でない確率は 63/64 です。パネルで期待値を求めたときと同じく、48 個の窓を独立な試行として扱うと、どの窓にも ABD が現れない確率は (63/64)⁴⁸ = 0.4696。したがって、ABD が少なくとも一度現れる確率は 1 − 0.4696 = 0.5304 です。
  
  $(1 - \frac{1}{64})^{48} = e^{48 l n (63/64)} = e^{- 0.7559} = 0.4696$
4. その 0.5304 という値はすべてのパターンについて等しく当てはまる確率であるため、これに64すべてのパターン数を掛けることで、ストリームに実際に含まれる異なるパターンの期待値が得られる。
  
  $E [D] = K [1 - (\frac{63}{64})^{48}] = 64 \times 0.5304 = 33.95$
5. ある窓が重複となるのは、そのパターンがすでに現れている場合に限ります。つまり、実際に現れた各パターンには、重複ではない窓がちょうど一つずつあります。窓の総数から異なるパターンの数を引けば、重複する窓の数が求まります。
  
  $E [R] = N - E [D] = 48 - 33.95 = 14.05$
6. もう1つのアプローチは、なぜ答えがこれほど大きくなるのかを説明する。パターンについて尋ねる代わりに、ウィンドウのペアについて考える。任意の2つのウィンドウが同じ3つの記号を持つ確率は 1/64 であり、考慮すべきペアは 1128 通り存在する。
  
  $(2 48) = \frac{48 \times 47}{2} = 1128, \frac{1128}{64} = 17.6$
解答

48 個の窓のうち、重複する窓の期待値は 14.05 個です。一致する組の期待値が 17.6 組もある以上、これは惜しい程度の差ではありません。 組の数から逆算して、重複が起こる確率が初めて半分を超える位置を求めましょう。平均が λ の計数では、値がゼロとなる確率は e^(−λ) であり、λ = ln 2 のときにちょうど半分を下回ります。そこで一致する組の期待値を ln 2 とおけば、必要なのはわずか 10 個の窓、すなわち 12 個の記号からなる列です。これは、誕生日が 365 通りではなく 64 通りになった誕生日のパラドックスです。50 個の記号からなる列に重複があっても、何かを示す兆候ではなく、むしろ当然予想される水準だと分かります。ただし、隣り合う窓は 3 個の記号のうち 2 個を共有するため、どちらの数え方で仮定したような独立な試行ではありません。実際に確率が半分を超える境目は、記号一つ分ほど先になります。

$\frac{1}{K} (2 N) = ln 2 ⟹ N (N - 1) = 2 (64) (0.6931) = 88.7, N \approx 10, L = N + w - 1 = 12$

参考文献 (1)

Insight block 3 — why AAAA clumps and ABCD does not: L. J. Guibas and A. M. Odlyzko, "String overlaps, pattern matching, and nontransitive games." Journal of Combinatorial Theory, Series A 30(2), 183–208, 1981 — the correlation polynomial that measures how a pattern overlaps a shifted copy of itself.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

短い系列 - 3記号の窓を用いた短い系列:それでも繰り返しはすぐに現れる。
中程度の系列 - 中程度の長さの系列は、繰り返しパターンが偶然でもごく普通に現れることを示す。
濃密なデジャヴ - より大きな窓を用いた長い系列でも、デジャヴのようなクラスターが生じる。