モンテカルロ法 円周率エクスプローラー

3.122 という結果は悪い試行なのだろうか？ 初期状態では、シード値 42 から N = 2000 個の点を抽出し、そのうち 1561 個が四分円の内部に入っている。推定値を評価する前に、通常の個数がどの程度になるはずだったかを算出しよう。

1. 各点は、四分円領域内に入れば成功となる 1 回の試行である。外接する正方形の面積が 1 であるため、成功確率はその面積そのものとなる。2000 回の独立な試行において、成功した個数は二項分布に従い、二項分布の平均は試行回数に確率を乗じたものとなる。

   $$p=\frac{\pi /4}{1}=0.7853982,\mathbb{E}\left[N_{\mathrm{in}}\right]=Np=2000\times 0.7853982=1570.80$$

2. これら同じ 2 つの数値が散らばりを決定する。観察された個数は期待値より 10 個未満少なく、これは標準偏差のわずか半分程度（0.5 標準偏差未満）である。したがって、このシード値による結果はごく標準的なものであり、結果のせいにする前にこの点を確認しておく価値がある。

   $${\sigma }_{N_{\mathrm{in}}}=\sqrt{Np(1-p)}=\sqrt{337.10}=18.360,z=\frac{1561-1570.80}{18.360}=-0.534$$

3. 推定値は個数に固定の定数を掛けたものであるため、その標準偏差も個数の標準偏差に同じ定数を掛けたものになる。ここでおなじみの 1/√N が登場する。個数の散らばりが √N に比例して大きくなるのに対し、除算は N で行われるからである。

   $$\hat{\pi }=\frac{4N_{\mathrm{in}}}{N}⟹{\sigma }_{\hat{\pi }}=\frac{4}{N}{\sigma }_{N_{\mathrm{in}}}=\frac{4\times 18.360}{2000}=0.036720$$

4. 表示される誤差も、全く同じ 0.53 標準偏差という値になるはずである。定数を掛けても、その値と固有の散らばりとの相対的な関係は変わらないからだ。これは 1 つの事実を 2 つの単位で表したものであり、2 つの独立した事実ではない。

   $$\left|\hat{\pi }-\pi \right|=\left|3.122000-3.141593\right|=0.019593=0.534{\sigma }_{\hat{\pi }}$$

5. ここからが、どのようなシード値でも改善できない部分である。整数を 4 倍して 2000 で割った値は常に 0.002 の倍数であり、π は無理数であるため、その値がいずれかの倍数と一致することはない。つまり、誤差がゼロになることはあり得ず、推定量が物理的に最も近づけるのは格子点から 1 ステップ離れた位置までである。

   $$\hat{\pi }\in \frac{4}{2000}\mathbb{Z}=0.002\mathbb{Z}:\underset{k}{\min }\left|\frac{4k}{2000}-\pi \right|=\left|3.142-3.141593\right|=4.073\times 10^{-4}$$