モンテカルロ法 円周率エクスプローラー

モンテカルロ法の誤差は1/Nではなく1/√Nに比例して縮小します — これは中心極限定理の帰結で、推定値はN回の独立な内側/外側のコイン投げの平均であり、その分散は1/Nで減少するためです。この平方根は「高くつき」ます。正しい小数点以下の桁を1桁増やすには、10倍ではなくおよそ100倍の点が必要になります。だからこそ、小数点以下の桁がまだ揺れているうちから、点群は説得力を持って円形に見えることがあります。また、この手法が実際にはπの計算だけのために使われることが少ない理由でもあります — 本領を発揮するのは高次元の積分で、決定論的な格子法は次元数に対して指数的にスケールしますが、モンテカルロ法の1/√Nという収束率は次元数に関係なく一定だからです。

不思議なのは、πは確定した正確な数なのに、このツールは偶然だけでそれを突き止める点だ。一つ一つの点は予測できず、運まかせで円の内か外に落ちる。だがその累積平均は素直に振る舞う——大数の法則により、点を増やすほど雑音まじりの割合は一つの安定値へ落ち着く。教訓はこうだ。偶然も大量に平均すれば、信頼できる測定器になる。

画面上の点よりずっと前、ビュフォンの針（1777年）は等間隔の線の上に針を落としてπを推定した——おそらく最初のモンテカルロ実験だ。1901年、マリオ・ラッザリーニは3,408回の投下でπ = 3.1415929、小数第6位まで正確な値を得たと報告した。しかし落とし穴がある。それはちょうど355/113、有名な古い近似値で、3,408という数はそれに当てるのに必要な投数と怪しいほど一致する——偶然が目標値に一致した瞬間に手を止めた、とほぼ断定できる。