待ち行列理論シミュレーター (M/M/1)

L = ρ/(1−ρ) はなめらかには増加しません — ρ = 1に垂直漸近線があるため、使用率が90%から99%に上がると、平均待ち行列長は9人から99人に跳ね上がり、容量ちょうどでは無限大になります。これが「ρの崖」です。使用率80%の待ち行列は85%とほとんど同じに感じられますが、95%まで押し上げると待ち時間は爆発的に増加します。なぜならW = 1/(μ−λ)も同じ特異点を持つからです — 分子が増えるのではなく、分母がゼロに近づいていくのです。コールセンターや病院の救急外来のような実際のシステムが、意図的に100%容量よりかなり低い水準で余裕を持たせているのはこのためです。頂点付近の一見「無駄な」余剰キャパシティこそが、崖から遠ざけてくれるのです。

M/M/1 の二つの M は「マルコフ的」を表し、到着はランダム(ポアソン過程)、サービス時間もランダムに変動(指数分布)し、サーバーは一つです。核心は意外で——サーバーが平均として客の到着より速くても、行列はできます。もし全員が時計仕掛けのように到着し、各処理が同じ時間なら、余力のあるサーバーに行列は決してできません。待ちは過負荷ではなく、ばらつきから生まれます。λ を μ より十分小さくしても、行列は現れては消えます。

ここに表示される L と W は独立ではなく、L = λW を満たし、Lq = λWq も同様です。驚くべきは、この関係がほとんど何も仮定しない点です。John Little は1961年に、到着やサービスの分布、サーバーの台数、客を捌く順序によらず、定常状態にあるほぼあらゆる安定な待ち行列で成り立つことを証明しました。同じ関係が病棟、工場の仕掛品、店の在庫を支配します——平均在庫は到着率かける平均滞在時間に等しいのです。