単価

同じコーヒーの瓶が2つあります。200 gで4.50のものと、300 gで6.30、さらに20%増量されているものです。グラムあたりの単価が安いのはどちらで、どれくらい安いでしょうか。

1. まず通常の瓶から見ていきましょう。1回割り算をするだけで、グラムあたりの価格が出ます。

   $$\frac{4.50}{200}=0.0225\Rightarrow 2.25\text{ / }100$$

2. 2つ目の瓶は、何よりも先に内容量を確定させる必要があります。300 gの20%増量は360 gであり、価格は変わりません。

   $$300\times 1.20=360$$

3. ここで、実際の数量に対して同じように割り算を行います。

   $$\frac{6.30}{360}=0.0175\Rightarrow 1.75\text{ / }100$$

4. 100 gあたり2.25に対して1.75となり、大きな瓶の方がお得です。これはグラムあたり22.2%の節約になりますが、20%増量そのものが20%の節約をもたらしたわけではないことに注目してください。

   $$1-\frac{1.75}{2.25}=22.2\%$$

5. 2つの効果を分けて考えましょう。キャンペーンがなければ、6.30の300 gは100 gあたり2.10となり、この時点ですでに小さな瓶よりも6.7%安くなっています。そして増量によって、この2.10が1.75まで下がります。

   $$\frac{6.30}{300}=2.10\Rightarrow 1-\frac{2.10}{2.25}=6.7\%$$

6. ラベルの表示が誇張されているのは、まさにこの部分です。20%増量は20/120の節約、つまり20%ではなく16.7%の節約になります。

   $$\frac{20}{120}=16.7\%\ne 20\%$$

7. これで、計算では答えが出ない問題が残りました。安い方の瓶が本当にお得なのは、風味が落ちる前に360 gのコーヒーを飲み切れる場合だけです。使い切れない量を安く買っても、節約にはなりません。単価は店頭にある商品を格付けするだけであり、3ヶ月後の戸棚の中身について教えてくれるわけではないのです。

   $$\frac{x}{1+x}<x(x>0)$$