Conversor de tamanho angular

Astronomia de ângulos pequenos: o quão grandes os objetos parecem no céu vistos da Terra.

Exemplo resolvido — Conversor de tamanho angular

Tamanho angular (radianos)	0.0090395 rad
Tamanho angular (graus)	0.51792°
Tamanho angular (minutos de arco)	31.075′
Tamanho angular (segundos de arco)	1864.5′′
Erro da aproximação de ângulo pequeno	0.00068094%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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por que D/d nunca está exatamente certo 🖖

A fórmula de ângulo pequeno θ ≈ D/d é uma aproximação de primeira ordem da relação exata θ = 2 arctan(D/2d). A fórmula exata vem da geometria: o observador vê uma corda de comprimento D a uma distância d, e o ângulo total é o dobro do arco-tangente da meia-corda dividida pela distância. A aproximação funciona porque arctan(x) ≈ x para valores pequenos de x. Para a Lua (D ≈ 3475 km, d ≈ 384.000 km), a razão D/d ≈ 0,0090, e o erro é de apenas 0,0007%. A 10° o erro já é de 0,25%; a 60° chega a 10%. Em astronomia, quase todo alvo satisfaz D ≪ d, então a aproximação vale até partes por milhão — mas para objetos próximos (um campo de futebol visto a 50 m, um planeta durante um sobrevoo próximo) a fórmula da arco-tangente passa a importar.

É sobre quão grande parece, não quão longe está 🖖

O tamanho angular mede o quão grande algo parece, não o seu tamanho real — um ângulo, não um comprimento. Um arranha-céu distante e uma moeda à distância do braço podem parecer iguais, porque tamanho e distância se compensam na razão D/d. O Sol é cerca de 400 vezes mais largo que a Lua, mas também cerca de 400 vezes mais distante, de modo que ambos abrangem perto de 0.5° no céu — a coincidência que torna possíveis os eclipses solares totais.

Num universo em expansão, o distante parece maior 🖖

A ideia do ângulo pequeno pressupõe um espaço plano e estático, mas a cosmologia a quebra. Como o universo se expandiu enquanto a luz antiga viajava até nós, a distância de diâmetro angular não é monótona: atinge o máximo perto de um desvio para o vermelho z ≈ 1.6. Uma galáxia de tamanho fixo encolhe no céu apenas até ali — além disso, galáxias mais distantes (e mais jovens) parecem na verdade maiores, não menores.

Onde cai o seu resultado

A estação espacial é um alvo maior do que Júpiter

Um ângulo é uma razão, e à razão não importa qual dos termos é grande. Uma nave de 109 metros a 420 km de altitude vence um planeta de 140.000 quilómetros a quatro unidades astronómicas — e com folga. Cada linha abaixo é um diâmetro real e uma distância real passados pelo mesmo 2·arctan(D/2d) que a ferramenta usa: reescreva qualquer linha e obterá o mesmo valor.

O que está a olhar	Diâmetro	Distância	Tamanho angular
Uma bola de golfe à distância do braço	42,67 mm	0,70 m	3,492°
O Sol	1.392.700 km	1,00 AU	32,00′
A Lua cheia	3.475 km	384.400 km	31,08′
A estação espacial numa passagem por cima	109 m	420 km	53,53″
Júpiter em oposição	139.822 km	4,20 AU	45,90″
Uma unidade astronómica, vista de um parsec	149.597.871 km	3,26 ly	1,0000″
O Sol, visto de Proxima Centauri	1.392.700 km	4,25 ly	7,150 mas
A mesma bola de golfe, pousada na Lua	42,67 mm	384.400 km	22,90 µas

A linha do parsec certifica as outras sete. Um parsec é definido como a distância à qual uma unidade astronómica subtende um segundo de arco, portanto essa linha tem de dar 1,0000″. E dá, com doze algarismos, a partir da mesma fórmula que produziu todas as outras. Nada dentro da tabela fixa esse valor — fixa-o a definição da unidade. Duas linhas não se escrevem diretamente: o menu de distâncias não tem parsec, use 3,26 ly, e o de diâmetros não tem milímetros, por isso a bola de golfe são 0,04267 m. E a última linha é a que vale a pena guardar. Uma bola de golfe pousada na Lua ocupa 22,9 microssegundos de arco, e o anel que o Event Horizon Telescope resolveu em torno do buraco negro de M87 mede 42 microssegundos de arco — menos do dobro da largura.

Referências (6)

The parsec, and the self-check in the middle of the table: IAU, "Measuring the Universe" — a parsec is the distance at which one astronomical unit subtends one arcsecond
Moon diameter and mean distance: NASA Science, Earth’s Moon: Facts
Jupiter radius 69,911 km and 5.2 au from the Sun: NASA Science, Jupiter: Facts
ISS 109 m across the solar arrays: NASA, International Space Station Facts and Figures
Distance to Proxima Centauri: Gaia Collaboration 2021, "Gaia Early Data Release 3: The Gaia Catalogue of Nearby Stars", A&A 649, A6
The 42 µas ring, for the last line of the note: Event Horizon Telescope Collaboration 2019, "First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole", ApJL 875, L1

Problema resolvido na íntegra

A Lua com 3474,8 km de diâmetro e a 384 400 km de distância 5 passos
A Lua tem 3474,8 km de diâmetro e está a 384 400 km de distância. Calcule o seu tamanho aparente nas quatro unidades — e depois resolva a coincidência do eclipse com a mesma fórmula.
1. A geometria é um triângulo retângulo desenhado sobre metade da Lua: o semidiâmetro oposto, a distância adjacente. Isso dá metade do ângulo, portanto dobre-o no final.
  
  $tan \frac{θ}{2} = \frac{D /2}{d} = \frac{1737.4}{384 400} = 0.0045198$
2. O arco-tangente devolve radianos, que é a unidade genuína aqui e aquela de que todas as fórmulas posteriores precisam. Tudo a partir daqui é conversão de unidades.
  
  $θ = 2 arctan (0.0045198) = 0.0090395 rad$
3. Graus, minutos de arco e segundos de arco são fatores de 180/π, 60 e 60. Meio grau é o valor que vale a pena recordar — é por isso que uma unha do dedo mínimo à distância do braço estendido cobre a Lua.
  
  $0.0090395 \times \frac{180}{π} = 0.5179 2^{\circ} = 31.07 5^{'} = 1864. 5^{''}$
4. A aproximação de pequenos ângulos omite o arco-tangente e limita-se a dividir. Aqui falha por 7 partes em um milhão, razão pela qual os astrónomos a utilizam sem hesitação; mantém-se dentro de um por cento até cerca de 10°.
  
  $θ \approx \frac{D}{d} = 0.0090395 ⟹ error = 6.8 \times 1 0^{- 6} = 0.00068%$
5. Agora aplique os mesmos dois passos ao Sol — 1,39 milhões de km a 1 AU. O resultado é 0,5334°.
  
  $θ_{⊙} = 2 arctan \frac{696 350}{1.496 \times 1 0 ^{8}} = 0.533 4^{\circ}, \frac{0.5334}{0.51792} = 1.030$
Resposta

A ferramenta mostra 0,0090395 rad, 0,51792°, 31,075′ e 1864,5″ para a Lua. O Sol resulta em 0,5334°, apenas 3% mais largo — a partir de um corpo 400 vezes maior e 390 vezes mais distante. Essa quase anulação é a razão pela qual os eclipses solares totais são de todo possíveis e por que são tão no limite: a distância da Lua varia cerca de um décimo ao longo da sua órbita, pelo que por vezes o seu disco cobre o Sol completamente e outras vezes fica aquém e deixa um anel. Nada na física exige que os dois coincidam. Clique na predefinição do Sol e leia os dois valores lado a lado — todo o fenómeno reside numa margem de 3%.

$θ = 2 arctan \frac{D}{2 d} : 0.5179 2^{\circ} (Moon) vs 0.533 4^{\circ} (Sun)$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-14

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Problemas de exemplo

Lua - O diâmetro angular da Lua é de cerca de meio grau, visto da Terra.
Sol - O Sol aparece com cerca de meio grau de largura a 1 AU.
Passagem da ISS - A ISS tem tamanho aparente pequeno e exige alta ampliação para mostrar detalhes.