Conversor de tamanho angular

A fórmula de ângulo pequeno θ ≈ D/d é uma aproximação de primeira ordem da relação exata θ = 2 arctan(D/2d). A fórmula exata vem da geometria: o observador vê uma corda de comprimento D a uma distância d, e o ângulo total é o dobro do arco-tangente da meia-corda dividida pela distância. A aproximação funciona porque arctan(x) ≈ x para valores pequenos de x. Para a Lua (D ≈ 3475 km, d ≈ 384.000 km), a razão D/d ≈ 0,0090, e o erro é de apenas 0,002%. A 10° o erro já é de 0,25%; a 60° chega a 15%. Em astronomia, quase todo alvo satisfaz D ≪ d, então a aproximação vale até partes por milhão — mas para objetos próximos (um campo de futebol visto a 50 m, um planeta durante um sobrevoo próximo) a fórmula da arco-tangente passa a importar.

O tamanho angular mede o quão grande algo parece, não o seu tamanho real — um ângulo, não um comprimento. Um arranha-céu distante e uma moeda à distância do braço podem parecer iguais, porque tamanho e distância se compensam na razão D/d. O Sol é cerca de 400 vezes mais largo que a Lua, mas também cerca de 400 vezes mais distante, de modo que ambos abrangem perto de 0.5° no céu — a coincidência que torna possíveis os eclipses solares totais.

A ideia do ângulo pequeno pressupõe um espaço plano e estático, mas a cosmologia a quebra. Como o universo se expandiu enquanto a luz antiga viajava até nós, a distância de diâmetro angular não é monótona: atinge o máximo perto de um desvio para o vermelho z ≈ 1.6. Uma galáxia de tamanho fixo encolhe no céu apenas até ali — além disso, galáxias mais distantes (e mais jovens) parecem na verdade maiores, não menores.