Calculadora de potência solar de Stefan-Boltzmann

Insira o raio e a temperatura da estrela para calcular a potência emitida usando a lei de Stefan-Boltzmann.

Exemplo resolvido — Calculadora de potência solar de Stefan-Boltzmann

Área superficial (4πR²)	4πR²≈6.082×10¹⁸ m²
Raio relativo ao quadrado	(1)²≈1
Emissividade	1

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Betelgeuse é mais fria que o Sol e 79.000× mais brilhante 🖖

Por metro quadrado a temperatura domina — T⁴ contra R² — e ainda assim, nestes exemplos, quem vence é o raio, porque estrelas reais não variam as duas grandezas igualmente. Compare as duas linhas de fatores da própria ferramenta: nestes quatro exemplos o raio abrange 3820× (de 0,2 a 764 R☉), enquanto a temperatura abrange apenas 3,1× (de 3200 a 9940 K). Betelgeuse é mais fria que o Sol, então sua linha (T/T☉)⁴ mostra 0,135 — uma penalidade pura — e ela ainda chega a 78.914 L☉ porque sua linha (R/R☉)² mostra 5,84 × 10⁵. Sirius, quase duas vezes mais quente que o Sol, alcança apenas 25,7. Um expoente mais íngreme perde quando a outra variável tem quatro ordens de magnitude para explorar.

Por metro quadrado, a temperatura é o fator decisivo 🖖

Esta ferramenta tem apenas duas variáveis: o tamanho da estrela e a temperatura da sua superfície. No entanto, cada uma pesa de maneira muito diferente. O raio entra como R², enquanto a temperatura entra como T⁴; por metro quadrado, é o calor que prevalece. Se a temperatura de uma estrela duplicar sem que o seu tamanho mude, cada metro quadrado irradiará 2⁴ = 16 vezes mais potência. É essa quarta potência que determina o fluxo. O seu efeito na estrela inteira depende de outra coisa: do raio que a estrela tem.

Stefan mediu o calor do Sol em 1879 🖖

Josef Stefan não apenas afirmou que o fluxo cresce como T⁴: em 1879 ele inverteu a lei. Passando a luz solar medida por σT⁴, estimou a superfície do Sol em cerca de 5430 °C (perto de 5700 K), o primeiro valor credível numa época em que estimativas rivais iam de 1500° a milhões de graus. Esta calculadora faz a mesma inversão: o fluxo que você calcula é exatamente a grandeza que Stefan mediu para tomar a temperatura do Sol.

Problema resolvido na íntegra

A potência total do Sol a partir do seu tamanho e temperatura de superfície 5 passos
Calcule a potência total do Sol a partir apenas do seu tamanho e da sua temperatura de superfície e, em seguida, use esse único número para prever quão fria a Terra deveria ser. Este é o estado Sol da ferramenta: R = 1 R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, T = 5772 K, ε = 1.
1. Stefan-Boltzmann fornece a potência por metro quadrado, pelo que a contagem de metros quadrados tem de vir em primeiro lugar. Uma estrela radia a partir da sua fotosfera, e a área de uma esfera necessita apenas do raio.
  
  $A = 4 π R^{2} = 4 π (6.957 \times 1 0^{8})^{2} = 6.082 \times 1 0^{18} m^{2}$
2. Agora o fluxo de um metro quadrado. A quarta potência é o que torna esta lei tão implacável: uma estrela apenas 20% mais quente do que o Sol radia 1,20⁴ = 2,07 vezes mais intensamente de cada ponto da sua superfície.
  
  $F = ε σ T^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (5772)^{4} = (5.6704 \times 1 0^{- 8}) (1.110 \times 1 0^{15}) = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
3. A luminosidade é o fluxo vezes a área e nada mais, porque cada fotão que sai da estrela atravessa essa superfície exatamente uma vez. O resultado é a definição de uma luminosidade solar, razão pela qual a linha de comparação da ferramenta indica 1.
  
  $L = A F = (6.082 \times 1 0^{18}) (6.294 \times 1 0^{7}) = 3.828 \times 1 0^{26} W$
4. Deixe-se a estrela. A mesma potência espalha-se agora sobre uma esfera cujo raio é a distância da Terra, pelo que apenas a área no denominador muda. Os satélites acima da atmosfera medem 1361 W/m², e essa concordância é a verificação de todos os três passos anteriores.
  
  $S = \frac{L}{4 π d ^{2}} = \frac{3.828 \times 1 0 ^{26}}{4 π ( 1.496 \times 1 0 ^{11} ) ^{2}} = 1361 W/ m^{2}$
5. A Terra interceta a luz solar através de um disco de área πR_⊕², mas radia a partir de toda a sua esfera, 4πR_⊕². O raio do planeta simplifica-se, o fator 4 não, e as nuvens e o gelo refletem cerca de 30% diretamente para fora antes que qualquer parte seja absorvida.
  
  $π R_{\oplus}^{2} (1 - a) S = 4 π R_{\oplus}^{2} σ T_{eq}^{4} ⟹ T_{eq} = 4 \frac{( 1 - 0.30 ) ( 1361 )}{4 σ} = 254.6 K$
Resposta

A ferramenta indica 6,082 × 10¹⁸ m², 6,294 × 10⁷ W/m² e 3,828 × 10²⁶ W. Tudo o que se segue é a mesma lei usada mais duas vezes, e termina em 254,6 K. A temperatura média real da superfície da Terra é de 288 K, pelo que a previsão erra por 33 K, e erra numa direção específica: sempre demasiado fria. Essa diferença é o efeito de estufa, e é a única grandeza na cadeia que σT⁴ não pode fornecer, porque a lei descreve o que uma superfície radia e não diz nada sobre o que o ar acima dela faz à radiação no caminho para fora. Um cálculo assim tão simples ficar a menos de 12% de um planeta é a razão pela qual é a primeira coisa que qualquer pessoa calcula sobre um exoplaneta.

$T_{eq} = 4 \frac{( 1 - a ) S}{4 σ} = 254.6 K, T_{\oplus} = 288 K, Δ T = 33 K$

Referências (3)

Betelgeuse’s radius and temperature, the preset behind the first block: M. Joyce et al., "Standing on the Shoulders of Giants: New Mass and Distance Estimates for Betelgeuse through Combined Evolutionary, Asteroseismic, and Hydrodynamic Simulations with MESA." The Astrophysical Journal 902(1), 63, 2020.
The solar radius, luminosity and temperature the tool normalises to: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The value of σ: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

Sol - R = 1 R☉ e T = 5772 K; por isso, ambas as linhas dos fatores indicam exatamente 1 e a luminosidade é 1 L☉. Todos os outros valores são medidos em relação ao Sol.
Sirius A - A 9940 K, a sua temperatura é quase o dobro da temperatura do Sol, o que, por si só, corresponde a um fator de 8,80. Multiplicado ainda pelo quadrado de 1,711 R☉, o resultado chega a 25,7 L☉.
Betelgeuse - 764 R☉ a 3500 K: a linha da temperatura introduz um fator redutor de 0,135, mas a do raio vale 5,84 × 10⁵. Ainda assim, a luminosidade chega a 78.914 L☉.
Anã vermelha - 0,2 R☉ a 3200 K: as duas linhas ficam abaixo de 1 e, multiplicadas, dão 0,004 L☉. É a única predefinição em que nenhum dos fatores ajuda.