Estimador de expansão de supernova

Estime o quanto um remanescente de supernova cresceu e se um telescópio conseguiria separá-lo de uma fonte pontual.

Exemplo resolvido — Estimador de expansão de supernova

Converter velocidade	3.00 Mm/s
Converter idade	31.6 Gs
Raio de expansão livre	10.0069 ly
Converter distância	6.15×10¹⁹ m
Projetar no céu	635.1 arcsec
Raio estimado do remanescente	10.0069 ly
Diâmetro estimado do remanescente	20.0138 ly
Diâmetro angular estimado	635.1 arcsec

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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R = vt descreve um remanescente por apenas alguns séculos 🖖

A igualdade entre distância, velocidade e tempo é exata enquanto o material ejetado continua a deslocar-se por inércia num espaço quase vazio. Essa fase de expansão livre é breve: dura, no máximo, algumas centenas de anos, até a concha ter varrido mais gás interestelar do que aquele com que começou. O remanescente entra então na fase de Sedov–Taylor, durante a qual o raio cresce com t elevado à potência 2/5, e não proporcionalmente a t. O efeito é fácil de perceber: a partir daí, duplicar a idade multiplica o raio por apenas 1,32, e não por 2. Mais tarde, quando o gás arrefece o suficiente para perder energia por radiação, a expansão abranda ainda mais, até o remanescente acabar por se integrar completamente no meio interestelar. Portanto, extrapolar linearmente um raio a partir da velocidade atual equivale a projetar para o passado uma fotografia instantânea, atravessando regimes físicos que entretanto mudaram.

Por que a distância encolhe um remanescente gigante 🖖

No fundo, esta ferramenta usa a fórmula mais simples da física: distância igual a velocidade vezes tempo, então o raio do remanescente é R = vt. O engenhoso é a última etapa — a mesma casca parece minúscula ou enorme conforme sua distância. Como o tamanho angular é aproximadamente θ ≈ 2R/d, afastar o remanescente para o dobro reduz à metade o ângulo que o telescópio precisa resolver.

A Nebulosa do Caranguejo expande mais rápido do que 1054 permite 🖖

Se você recuar o movimento da Nebulosa do Caranguejo com as velocidades atuais, os filamentos convergem por volta do ano 1140, cerca de 90 anos após a supernova que a China registrou em 1054. O remanescente está acelerando, e não desacelerando: o vento do pulsar central continua injetando energia na casca. Por isso um R = vt constante dataria a explosão tarde demais, um caso raro em que a realidade ultrapassa o modelo simples.

Problema resolvido na íntegra

O raio do invólucro a 3000 km/s e a 6500 anos-luz de distância 6 passos
3000 km/s, 1000 anos, a 6500 anos-luz de distância. Encontre o raio da camada e a sua dimensão aparente — depois verifique se a "expansão livre" ainda é permitida.
1. Um ano-luz é definido como a distância que a luz percorre num ano, pelo que dividir uma velocidade por c e um tempo por um ano cancela todas as unidades de uma só vez. Sem metros, sem segundos.
  
  $R = v t; 1 ly = c \times 1 yr ⟹ \frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \times \frac{t}{yr}$
2. Calcule. 3000 km/s é quase exatamente 1% da velocidade da luz, o que torna o raio quase exatamente 1% da idade em anos-luz — uma coincidência dos números escolhidos, não da física.
  
  $\frac{v}{c} = \frac{3000}{299 792.458} = 0.0100069 = 1.0007% ⟹ R = 0.0100069 \times 1000 = 10.0069 ly$
3. O diâmetro é trivial; a idade em segundos não é necessária para nada do que está acima e é mostrada apenas porque o painel a apresenta.
  
  $D = 2 R = 20.0138 ly; t = 1000 yr = 3.156 \times 1 0^{10} s = 31.6 Gs$
4. O tamanho angular é o diâmetro sobre a distância. A aproximação para ângulos pequenos é segura aqui porque a razão é de 0,003, e o painel diz isso explicitamente.
  
  $θ = 2 arctan \frac{R}{d} \approx \frac{2 R}{d} = \frac{20.0138}{6500} = 3.0791 \times 1 0^{- 3} rad$
5. Converta para segundos de arco multiplicando radianos por 206 265 — o número de segundos de arco num radiano e a mesma constante que define o parsec.
  
  $3.0791 \times 1 0^{- 3} \times 206265 = 635.1 arcsec = 10.6 arcmin$
6. Agora teste a própria premissa do modelo. Varra o volume da camada, preencha-o com um átomo de hidrogénio por centímetro cúbico e pese o que a explosão teve de empurrar.
  
  $M_{swept} = \frac{4}{3} π R^{3} ρ_{ISM}, n = 1 c m^{- 3} : \frac{4}{3} π (9.467 \times 1 0^{16})^{3} \times 1.67 \times 1 0^{- 21} = 5.9 \times 1 0^{30} kg = 3.0 M_{⊙}$
Resposta

10,0069 ly de raio, 635 arcsec no céu — e não, a expansão livre terminou há muito tempo. A esse raio, a camada já varreu cerca de 3 massas solares de gás interestelar, o que é mais do que uma Supernova do Tipo Ia ejeta em primeiro lugar. Assim que a massa varrida excede a matéria ejetada, a camada começa a ser travada pelo que recolhe e o modelo de velocidade constante chega ao fim: o remanescente entra na fase de Sedov–Taylor, onde o raio cresce como t^(2/5) em vez de t. A ferramenta refere no topo que assume uma velocidade constante, e faz bem; o que não diz é que essa premissa expira ao fim de algumas centenas de anos, o que, para um remanescente de 1000 anos, representa a maior parte da sua vida. A parte elegante da aritmética é o passo 1, em que o ano-luz faz toda a conversão de unidades gratuitamente.

$\frac{R}{ly} = \frac{v}{c} \cdot \frac{t}{yr} = 10.0069, θ = \frac{2 R}{d} = 635. 1^{''}$

Referências (1)

The Crab filaments converging on 1140 rather than 1054: V. Trimble, "Motions and Structure of the Filamentary Envelope of the Crab Nebula." The Astronomical Journal 73, 535, 1968 — proper motions extrapolate back to AD 1140 ± 10, about 90 years after the recorded supernova.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-31

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Problemas de exemplo

Remanescente semelhante ao da Nebulosa do Caranguejo - Uma velocidade de 1500 km/s durante 971 anos dá um raio de 4,86 anos-luz, correspondente a 5,14 minutos de arco a uma distância de 6500 anos-luz. A idade é a indicada pelo registo de 1054.
Remanescente semelhante ao de Tycho - Mais rápido e mais antigo do que o Caranguejo, tem um raio de 7,56 anos-luz e encontra-se mais longe, a 2500 pc. Ainda assim, parece maior: 6,37 minutos de arco, contra 5,14 do Caranguejo.
Semelhante à SN 1987A - Um raio de 0,39 anos-luz ocupa menos de um segundo de arco, pois 50 kpc é uma distância enorme. É doze vezes menor do que o Caranguejo em tamanho e trezentas vezes menor no céu.
Caso de brinquedo próximo e minúsculo - Um caso deliberadamente absurdo: a 1 km/s durante um décimo de ano, forma-se uma concha com cerca de dez segundos-luz de diâmetro, situada a um centésimo de ano-luz. Ainda assim, ocupa 13,8 segundos de arco, catorze vezes mais do que a SN 1987A.