Calculadora de período sinódico

Insira dois períodos orbitais para calcular o ritmo do ciclo de batimento para configurações angulares repetidas.

Exemplo resolvido — Calculadora de período sinódico

Pré-visualização ao longo do ciclo	0%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um período sinódico pode ser mais longo que as duas órbitas 🖖

Na primeira vez parece errado: dois corpos que completam cada um uma volta em menos de dois anos podem levar mais que isso para se alinhar de novo. A Terra leva 1 ano e Marte 1,881, e 1/S = |1/1 − 1/1,881| dá S = 2,135 anos — cerca de 25,6 meses, mais que qualquer uma das duas órbitas. Quanto mais próximos os dois períodos, pior fica, porque o corpo rápido ganha terreno sobre o lento muito devagar; à medida que os períodos se igualam, S dispara para o infinito. Isso não é uma curiosidade. Esses 25,6 meses são o motivo de missões a Marte partirem em janelas agrupadas separadas por cerca de dois anos, e não quando um foguete está pronto, e de uma janela perdida custar dois anos.

Dois corredores numa pista 🖖

Imagine dois corredores dando voltas numa pista em velocidades diferentes. O mais rápido vai sempre se adiantando, e o período sinódico é simplesmente o tempo até ele dar uma volta a mais no mais lento e voltar a se alinhar com ele. É por isso que, embora a Terra orbite em 365 dias e Marte em 687, os dois só chegam à oposição a cada cerca de 780 dias — e por isso missões tripuladas a Marte só podem partir a cada ~26 meses.

O pentagrama de Vênus 🖖

A Terra e Vênus estão perto de um ritmo orbital 8:13: oito anos terrestres equivalem quase exatamente a treze anos de Vênus, que são também cinco períodos sinódicos Terra–Vênus (5 × 584 ≈ 2920 dias ≈ 8 anos). Por causa dessa quase ressonância, Vênus retorna quase ao mesmo ponto a cada conjunção inferior, e traçar esses encontros ao longo de oito anos desenha uma rosácea de cinco pétalas surpreendentemente regular — o famoso "pentagrama de Vênus".

Problema resolvido na íntegra

Ciclo da frequência com que Júpiter e Saturno se alinham 5 passos
O ano de Júpiter tem 4332,59 dias e o de Saturno 10759,22. Determine com que frequência os dois se alinham, em que ponto do céu ocorre cada encontro e, em seguida, um ciclo muito mais lento escondido nos mesmos dois números. Este é o estado Júpiter-Saturno, com o alvo de alinhamento definido para a mesma longitude relativa.
1. Os períodos não se subtraem; as taxas subtraem-se. Converter cada período em voltas por dia é o que transforma o resto disto em aritmética em vez de geometria.
  
  $n_{1} = \frac{1}{4332.59} = 2.3081 \times 1 0^{- 4} d^{- 1}, n_{2} = \frac{1}{10759.22} = 9.2944 \times 1 0^{- 5} d^{- 1}$
2. Dois corredores numa pista circular voltam a encontrar-se quando o mais rápido ganha exatamente uma volta inteira, pelo que a taxa de encontros é a diferença das taxas de volta. Subtrair dois números pequenos resulta num ainda menor, sendo assim que um planeta de 12 anos e um planeta de 29 anos acabam num ciclo de 20 anos — mais lento do que qualquer um deles.
  
  $ν = n_{1} - n_{2} = 1.3787 \times 1 0^{- 4} d^{- 1} ⟹ S = \frac{1}{ν} = \frac{P _{1} P _{2}}{P _{2} - P _{1}} = 7253.4577 d = 19.8589 yr$
3. Um ano de Júpiter não conclui a tarefa, e o défice é grande. Em 4332,59 dias Saturno percorre 40% da sua própria órbita, pelo que o alinhamento se deslocou mais de meia volta e Júpiter tem de o perseguir por mais dois terços de volta.
  
  $θ_{P_{1}} = 36 0^{\circ} (1 - \frac{P _{1}}{P _{2}}) = 36 0^{\circ} (1 - 0.40269) = 215.032 9^{\circ}$
4. Agora pergunte onde ocorre o encontro, e não apenas quando. Júpiter completa 1,674 das suas próprias órbitas por ciclo, e é a parte fracionária que faz deslocar a conjunção pelo céu — cada uma ocorre 117,3° atrás da anterior. Três delas quase fecham um triângulo.
  
  $\frac{S}{P _{1}} = \frac{7253.4577}{4332.59} = 1.6741 ⟹ 36 0^{\circ} \times 1.6741 = 602.7 0^{\circ} \equiv + 242.7 0^{\circ} (- 117.3 0^{\circ}), 3 \times 242.7 0^{\circ} = 728.1 0^{\circ} \equiv 8.1 0^{\circ}$
5. A razão entre os períodos é a pista para o segundo ciclo. Uma razão próxima de uma fração simples significa que alguma combinação de números inteiros das duas taxas é quase zero, e 5/2 é a fração de que este par está mais próximo. Duas voltas de Júpiter contra cinco de Saturno deixam cerca de um milésimo de grau por dia.
  
  $\frac{P _{2}}{P _{1}} = 2.4833 \approx \frac{5}{2} : 2 \dot{λ}_{1} - 5 \dot{λ}_{2} = \frac{720}{4332.59} - \frac{1800}{10759.22} = - 0.001116 0^{\circ} d^{- 1} ⟹ \frac{360}{0.0011160} = 322575 d = 883 yr$
Resposta

A ferramenta indica um período sinódico de 7253,4577 dias, 19,8589 anos, um deslocamento de 215,0329° por órbita de Júpiter e uma razão entre períodos de 2,4833. O que se segue é de Kepler: grandes conjunções sucessivas avançam 117,3° ao longo do zodíaco, três delas regressam a menos de 8,1° do início após 59,6 anos, e esse triângulo que gira lentamente necessita de 221 anos para percorrer um único signo. O 2,4833 esconde mais do que o batimento de 20 anos. Como se situa a 0,7% de 5/2, a combinação 2λ_J − 5λ_S avança a 0,0011160° por dia, um ciclo de 883 anos — a Grande Desigualdade que fazia Júpiter parecer acelerar e Saturno desacelerar ao longo das observações registadas, até Laplace demonstrar em 1785 que ambos iriam inverter a tendência. Uma calculadora que apenas forme |n₁ − n₂| encontra o ciclo de 20 anos e é cega ao de 883 anos: uma quase ressonância coloca um batimento em cada combinação de números inteiros pequenos das duas taxas, e não apenas na sua diferença.

$S = \frac{P _{1} P _{2}}{∣ P _{2} - P _{1} ∣} = 19.86 yr \frac{36 0 ^{\circ}}{∣2 λ ˙ _{1} - 5 λ ˙ _{2} ∣} = 883 yr$

Referências (1)

The commensurability behind insight block 3: J. Kepler, Harmonices Mundi, Book V. Linz, 1619 — the ratios between planetary periods, including the Venus–Earth near-commensurability the pentagram comes from.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

Terra-Marte - As oposições Terra-Marte se repetem a cada aproximadamente 780 dias, coincidindo com o ciclo sinódico clássico.
Terra-Vênus - O ciclo sinódico Terra-Vênus é de cerca de 584 dias, o que impulsiona a geometria recorrente de estrela-d'alva/estrela-vespertina.
Júpiter-Saturno - O ciclo da grande conjunção Júpiter-Saturno é de cerca de 19.9 anos.
Faseamento LEO-GTO - Períodos de órbitas artificiais também produzem ciclos de batimento úteis para análises de revisita e faseamento.