Lições Interativas de Matemática e Ciências

Equilíbrio de Hardy-Weinberg

Três vistas: observe as frequências alélicas evoluírem conforme a eficácia de cada genótipo, faça um teste do χ² sobre contagens genotípicas observadas e converta a incidência de uma doença em frequência de portadores.

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Uma população real não conseguiria manter essa linha 🖖

Esta ferramenta nunca joga dados. O seu preset sem seleção mantém p = 0,500 exatamente ao longo das cinquenta gerações, e executá-lo outra vez desenha a mesma curva, porque não há aleatoriedade em parte alguma do modelo. Nenhuma população real pode se comportar assim. Numa população de tamanho finito, só o acaso decide quais indivíduos chegam a se reproduzir, e esse erro de amostragem — a deriva genética — desloca p a cada geração até que um dos alelos acabe por se perder, sem qualquer seleção envolvida. A deriva morde com mais força quanto menor é a população, e é por isso que programas de conservação se preocupam com o número de indivíduos mesmo onde nada seleciona contra os animais. Entre as premissas que os estudantes passam por cima, a de tamanho populacional infinito é a que trabalha mais aqui.

Genótipos são apenas dois sorteios ao acaso 🖖

No fundo, Hardy-Weinberg é pura probabilidade. Se os alelos se emparelham ao acaso, a chance de um filho AA é simplesmente p × p = p² — exatamente como tirar duas caras ao lançar uma moeda. Isso permite raciocinar ao contrário: a partir da fração de pessoas afetadas por uma doença recessiva (q²) recupera-se quão comuns são os portadores invisíveis. Se 1 em 10,000 é afetado, então q = 0.01 e os portadores (2pq) são cerca de 1 em 50 — 200 vezes mais comuns do que a própria doença.

A ideia secundária de um matemático puro 🖖

Este pilar da genética veio de alguém que pouco o valorizava. Em 1908, o geneticista Reginald Punnett — amigo de críquete de G. H. Hardy em Cambridge — não soube explicar por que um traço dominante não dominava aos poucos uma população. Hardy rabiscou a resposta e publicou-a quase se desculpando, como um matemático puro que desprezava a matemática aplicada. O médico Wilhelm Weinberg deduziu a mesma lei nesse ano em alemão; foi ignorada por 35 anos, até Curt Stern conceder em 1943 crédito igual aos dois homens.

HARDY-WEINBERG — QUE FORÇA ATUA SOBRE A SUA POPULAÇÃO?

Em que caso de Hardy-Weinberg você está?

Hardy-Weinberg é um modelo nulo: diz o que uma população faz quando nada atua sobre ela. Por isso a pergunta útil nunca é se a equação é verdadeira, mas qual das suas premissas a sua população viola — porque é isso que decide de qual das três vistas você precisa. Estes seis casos cobrem a linha de base, o teste que detecta um desvio dela, os três regimes de seleção que a ferramenta consegue simular e o único cálculo que inverte a equação: de uma taxa de doença ao alelo que se esconde por trás dela.

Sem seleção — a linha de base w = 1 ⇒ p² + 2pq + q² = 1
Contagens observadas — testar o ajuste χ² = 36.0 > 3.841, df = 1
Seleção contra o recessivo — lenta no fim w(aa) = 0.8 ⇒ q → 0
Vantagem do heterozigoto — um polimorfismo estável w(Aa) > w(AA), w(aa) ⇒ p → 0.667
Desvantagem do heterozigoto — um ponto de virada instável w(Aa) < w(AA), w(aa) ⇒ p → 0 / 1
De volta a partir da incidência — contar portadores q = √(q²) ⇒ 2pq = 0.039

01

Sem seleção — a linha de base

O que você sabe: Uma frequência alélica p e nenhuma diferença de aptidão entre os três genótipos.

Resultado: w = 1 ⇒ p² + 2pq + q² = 1

Exemplo resolvido: p = 0,500 com as três aptidões iguais a 1. Os genótipos ficam em AA = 0,250, Aa = 0,500, aa = 0,250, e depois de 50 gerações a ferramenta ainda indica p = 0,500. Nada se moveu.

Abrir este caso: Igual (p=0.5)
Sem seleção — a linha de base. As três aptidões valem 1, então as cinco linhas são planas. p e q nunca se movem e as frequências genotípicas permanecem em p², 2pq e q². Uma frequência alélica p e nenhuma diferença de aptidão entre os três genótipos.
As três aptidões valem 1, então as cinco linhas são planas. p e q nunca se movem e as frequências genotípicas permanecem em p², 2pq e q².

02

Contagens observadas — testar o ajuste

O que você sabe: Contagens de genótipos de uma amostra real, e nada mais.

Resultado: χ² = 36.0 > 3.841, df = 1

Exemplo resolvido: AA = 40, Aa = 20, aa = 40 numa amostra de N = 100. A ferramenta estima p̂ = 0,500, espera portanto 25,00 / 50,00 / 25,00 e indica χ² = 36,000 contra um valor crítico de 3,841 — p < 0,0001, então o equilíbrio é rejeitado.

Abrir este caso: Teste do χ²
Contagens observadas — testar o ajuste. Contagens observadas contra as expectativas de Hardy-Weinberg. Ambos os homozigotos estão em excesso enquanto os heterozigotos chegam a apenas 40 % do esperado — um défice que vale χ² = 36,0 com um grau de liberdade. Contagens de genótipos de uma amostra real, e nada mais.
Contagens observadas contra as expectativas de Hardy-Weinberg. Ambos os homozigotos estão em excesso enquanto os heterozigotos chegam a apenas 40 % do esperado — um défice que vale χ² = 36,0 com um grau de liberdade.

03

Seleção contra o recessivo — lenta no fim

O que você sabe: A aptidão de aa está abaixo de 1, enquanto AA e Aa são igualmente aptos.

Resultado: w(aa) = 0.8 ⇒ q → 0

Exemplo resolvido: p = 0,300 com w(aa) = 0,80. Ao longo de 100 gerações a ferramenta leva p a 0,946, então q cai de 0,700 para 0,054 — mas não de modo uniforme. q já passou de 0,500 na geração 7, chega a 0,050 na 109 e precisa da geração 516 para alcançar 0,010.

Abrir este caso: Seleção
Seleção contra o recessivo — lenta no fim. p sobe com força e depois empaca. A linha tracejada de aa — o único genótipo que a seleção toca — desaba para zero enquanto a linha de Aa mantém o alelo em circulação. A aptidão de aa está abaixo de 1, enquanto AA e Aa são igualmente aptos.
p sobe com força e depois empaca. A linha tracejada de aa — o único genótipo que a seleção toca — desaba para zero enquanto a linha de Aa mantém o alelo em circulação.

04

Vantagem do heterozigoto — um polimorfismo estável

O que você sabe: Aa é mais apto que ambos os homozigotos.

Resultado: w(Aa) > w(AA), w(aa) ⇒ p → 0.667

Exemplo resolvido: p = 0,200 com w(AA) = 0,90, w(Aa) = 1,00, w(aa) = 0,80. A ferramenta indica um equilíbrio interno em p* = 0,667, e p sobe até lá por baixo — 0,657 na geração 50 e 0,666 na 100.

Abrir este caso: Sobredominância
Vantagem do heterozigoto — um polimorfismo estável. p sobe de 0,200 e se achata sobre a linha tracejada em p* = 0,667. Ambos os alelos persistem indefinidamente; nenhum se perde. Aa é mais apto que ambos os homozigotos.
p sobe de 0,200 e se achata sobre a linha tracejada em p* = 0,667. Ambos os alelos persistem indefinidamente; nenhum se perde.

05

Desvantagem do heterozigoto — um ponto de virada instável

O que você sabe: Aa é menos apto que ambos os homozigotos.

Resultado: w(Aa) < w(AA), w(aa) ⇒ p → 0 / 1

Exemplo resolvido: p = 0,350 com w(AA) = 1,00, w(Aa) = 0,80, w(aa) = 0,90. A mesma fórmula de p* dá 0,333, e a ferramenta leva p a 1,000 já na geração 80. Agora ponha p em 0,300 — logo abaixo de p* — e essas mesmas três aptidões levam p a 0,000 em vez disso.

Abrir este caso: Subdominância
Desvantagem do heterozigoto — um ponto de virada instável. Duas simulações com aptidões idênticas. Começar logo acima de p* = 0,333 fixa A; começar logo abaixo o perde. A linha tracejada é um divisor de águas, não um destino. Aa é menos apto que ambos os homozigotos.
Duas simulações com aptidões idênticas. Começar logo acima de p* = 0,333 fixa A; começar logo abaixo o perde. A linha tracejada é um divisor de águas, não um destino.

06

De volta a partir da incidência — contar portadores

O que você sabe: Quão comum é a doença recessiva. Nada sobre frequências alélicas.

Resultado: q = √(q²) ⇒ 2pq = 0.039

Exemplo resolvido: Uma incidência de cerca de 1 em 2500 nascimentos, ou seja q² = 0,0004. A ferramenta tira a raiz quadrada para obter q = 0,020, depois p = 0,980, e indica portadores em 2pq = 0,039 — cerca de 1 em cada 26 pessoas.

Abrir este caso: Fibrose cística
De volta a partir da incidência — contar portadores. A barra da população em q = 0,020. O segmento aa é de 0,04 % — fino demais para rotular — enquanto o segmento Aa é de 3,92 %, noventa e oito vezes mais largo. Quão comum é a doença recessiva. Nada sobre frequências alélicas.
A barra da população em q = 0,020. O segmento aa é de 0,04 % — fino demais para rotular — enquanto o segmento Aa é de 3,92 %, noventa e oito vezes mais largo.
Referências (5)

Problema resolvido na íntegra

  1. Proporções genotípicas para um gene com dois alelos com igual frequência 5 passos

    Para um gene com dois alelos com igual frequência, determine as proporções genotípicas — depois use a mesma identidade para explicar por que razão uma doença recessiva rara não pode ser eliminada por seleção.

    1. Se o acasalamento for aleatório, um indivíduo resulta de duas extrações independentes da reserva de alelos. As frequências genotípicas são, portanto, os termos de um binómio ao quadrado, e a sua soma tem de ser igual a um.

    2. Para p = q = 0,5, a divisão é de um quarto, metade, um quarto. A calculadora acima apresenta exatamente estes valores, e a caraterística importante é que eles são estáveis — a geração seguinte dá o mesmo resultado, sem que seja necessária qualquer força para o manter.

    3. Considere-se agora que o alelo recessivo é raro, como acontece com o alelo de uma doença. A frequência de afetados é q², que diminui quadraticamente, mas a frequência de portadores 2pq diminui apenas linearmente.

    4. Calcule-se a razão. Quase todas as cópias de um alelo raro encontram-se num portador saudável, invisíveis para a seleção.

    5. Assim, a seleção contra os afetados remove uma fração insignificante dos alelos em cada geração, e o declínio segue uma função recíproca lenta, não uma exponencial.

    Resposta

    0,250 : 0,500 : 0,250. A consequência é a parte mais impressionante: para q = 0,01, uma pessoa em cada 10 000 é afetada, enquanto uma em cada 50 é portadora — 198 portadores por cada indivíduo afetado. Mesmo eliminando todas as pessoas afetadas da reprodução, q passa de 0,0100 para apenas 0,0091 ao longo de dez gerações, cerca de 250 anos. Este é o argumento da genética populacional contra os programas eugenésicos, e trata-se de aritmética e não de ética: o alelo está escondido em heterozigóticos onde a seleção não o consegue ver.

· Atualizado

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Problemas de exemplo

  • Igual (p=0.5) - Sem diferenças de eficácia (todas w = 1) com p = 0.5. As frequências alélicas e genotípicas permanecem estáveis geração após geração — a referência de Hardy-Weinberg.
  • Seleção - O homozigoto recessivo aa é menos apto (w = 0.8). O alelo recessivo diminui lentamente, e a mudança desacelera à medida que as cópias restantes se escondem em heterozigotos Aa.
  • Sobredominância - Vantagem do heterozigoto — Aa é o genótipo mais apto, então ambos os alelos são preservados e p se estabiliza num equilíbrio estável (~0.67) em vez de um alelo se perder.
  • Subdominância - Desvantagem do heterozigoto — Aa é o genótipo menos apto, então p = 0,35 é empurrado para longe do ponto instável p* = 1/3 até A se fixar. Baixe p para 0,30 e as mesmas três aptidões fazem A desaparecer em vez disso.
  • Teste do χ² - Contagens observadas (AA=40, Aa=20, aa=40) que não se ajustam às proporções de Hardy-Weinberg; o teste do χ² aponta um desvio significativo do equilíbrio.
  • Fibrose cística - Incidência semelhante à fibrose cística (~1 em cada 2500 afetados). Recupere a frequência do alelo recessivo e a de portadores a partir de q².