O Censo do Parque

Defina quantos animais existem realmente, quantos o parque julga ter libertado e se a busca para ao atingir esse número. Depois, repare no que os tamanhos dos animais encontrados lhe estão a dizer.

Exemplo resolvido — O Censo do Parque

A busca reporta	12
O que dizem os tamanhos	-2,6 em reprodução

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Uma contagem que para no número esperado nunca pode reportar um excedente 🖖

Prima A contagem que oculta o excedente. Há 40 animais lá fora, o parque pensa ter libertado 12 e o sistema de busca tem ordens para parar assim que atingir o total esperado. O resultado é 12 de 12. O ecrã indica que o parque está absolutamente certo, e 28 animais ficam por contabilizar. Agora remova o limite: o mesmo parque, as mesmas rondas, e a contagem indica 37. O número tranquilizador foi produzido pela instrução, não pelos animais. Isto não é apenas um artifício narrativo. Qualquer auditoria que pare assim que as contas batem certo, qualquer bateria de testes que pare nas falhas esperadas, qualquer busca que termine ao encontrar aquilo que procurava, tem a mesma forma.

A distribuição revela a verdade, mas um simples olhar não chega 🖖

Malcolm infere a reprodução a partir de um gráfico das alturas dos animais: uma libertação controlada decorre em lotes, de modo que os tamanhos se concentram; a reprodução livre espalha as idades continuamente. Ele tem razão. O problema é que a versão ingénua do seu raciocínio não funciona. Durante a criação desta ferramenta, contar os picos no histograma resultou na conclusão inversa para dimensões de amostra realistas. O ruído inerente a uma amostra contínua de 48 fê-la parecer mais acidentada do que três autênticas coortes. A abordagem fiável passa pela comparação direta entre os dois modelos, aplicando uma penalização ao modelo de coortes pelos parâmetros adicionais que consome. Alterne entre Libertação em lotes e Reprodução e acompanhe o valor da evidência: +68,3 de um lado, −18,4 do outro, obtido a partir dos mesmos 46 animais. O seu sentido visual deixa-se persuadir pelo gráfico, cabendo a certeza estatística absoluta à razão de verossimilhança penalizada.

Um limite não apenas erra a contagem, também suprime a evidência 🖖

Os animais que medimos são os animais que capturamos. Por isso, as duas falhas acumulam-se. Na simulação com limite, temos 12 tamanhos para analisar. A evidência de reprodução fixa-se em −2,6. Aponta na direção certa, mas com demasiada fraqueza para justificar qualquer ação. Remova o limite e o mesmo parque rende 37 animais e −18,5, o que é decisivo. Detetar coortes continua a ser fácil em amostras de qualquer tamanho, porque os agrupamentos dão sempre nas vistas. Provar a ausência de coortes é que representa o caminho difícil e exige números. Assim, a instrução para parar de contar eliminou a evidência populacional e a evidência de reprodução de uma só vez. Acabou por deixar no ecrã uma simples mensagem de normalidade.

Problemas resolvidos na íntegra

Quarenta animais lá fora num parque que espera 12 7 passos
Um parque espera 12 animais. Existem 40 na realidade. Cada varredura deteta um dado animal com probabilidade 0,28. A busca executa 8 varreduras. O que nos diz a contagem, com e sem o limite ativado?
1. Comece pela cobertura. Um animal escapa a uma varredura com probabilidade 0,72. Logo, escapará a todas as oito com probabilidade 0,72 à oitava.
  
  $(1 - 0.28)^{8} = 0.7 2^{8} = 0.0722$
2. Portanto, a busca deteta cerca de 93% do que quer que lá esteja. Com 40 animais presentes, isso dá 37.
  
  $1 - 0.0722 = 0.928 \Rightarrow 40 \times 0.928 = 37$
3. Com o limite ativo, a busca para aos 12. Nunca chega aos 37, reportando o número esperado com exatidão.
  
  $min (37, 12) = 12$
4. A discrepância é a grande descoberta. Estão 28 animais lá fora sem qualquer registo, e o relatório exibe uma correspondência perfeita. O limite não restringiu apenas o número. Removeu o único sinal de que algo estava errado.
  
  $40 - 12 = 28$
5. Passemos ao segundo instrumento. Os tamanhos são medidos nos animais encontrados, pelo que o limite também decide o tamanho da amostra: 12 animais com o limite e 37 sem ele.
  
  $n_{capped} = 12 n_{free} = 37$
6. Comparar um modelo de três coortes com uma distribuição contínua de idades gera uma razão de log-verosimilhança de −2,6 nos doze e de −18,5 nos trinta e sete. Abaixo de cerca de 5 em valor absoluto, uma razão de verosimilhança não é motivo para agir.
  
  $lo g \frac{L _{cohorts}}{L _{continuous}} = - 2.6 vs - 18.5$
7. É aqui que a ferramenta esgota a sua utilidade. É também aqui que o livro acerta de forma discreta em algo real. Ambos os números apontam para a reprodução. Contudo, apenas um deles possui força suficiente para o declarar. A diferença entre os dois não foi ditada pelos animais, nem sequer pela biologia. Foi causada por uma instrução sobre a altura de parar de procurar.
  
  $∣Λ∣ < 5 \Rightarrow \emptyset$
Resposta

12 com o limite, 37 sem ele, a partir de uma população de 40. A contagem limitada reporta uma correspondência perfeita enquanto esconde 28 animais. E os doze que efetivamente devolve colocam a evidência de reprodução em −2,6 em vez de −18,5. Uma instrução, dois instrumentos cegos.
Quarenta e seis animais contados, e o número que o parque realmente quer 6 passos
Carregue em Não há reprodução. Estão cinquenta lá fora, a busca faz oito varreduras e regressa com 46. Percorra a ferramenta ao contrário, recuperando a população a partir da contagem, e decida depois se o parque deve varrer mais vezes ou medir melhor a sua busca.
1. A cobertura primeiro, porque tudo aqui depende dela. Uma varredura deteta um dado animal com probabilidade 0,28, logo falha-o com probabilidade 0,72, e oito varreduras independentes falham-no com 0,72 à oitava. Seja o que for que esteja lá fora, a busca encontra 92,78%.
  
  $c = 1 - (1 - p)^{k} = 1 - 0.7 2^{8} = 1 - 0.0722 = 0.9278$
2. É daqui que vem o 46 do cartão, e vale a pena ver a ferramenta a trabalhar no sentido para o qual ninguém tem dados: recebeu a verdade e devolveu a contagem.
  
  $⌊ 50 \times 0.9278 ⌋ = 46$
3. Um censo real está do outro lado desta equação. Tem 46 anotados num caderno e quer o número que anda pelo parque, portanto divide em vez de multiplicar. Arredondado ao animal inteiro mais próximo, 50.
  
  $\hat{N} = \frac{n}{c} = \frac{46}{0.9278} = 49.58 \Rightarrow 50$
4. Essa resposta assenta numa taxa de deteção que o parque adivinhou, pelo que a pergunta é quanto peso lhe está a pôr em cima. Derive o logaritmo: o erro relativo da estimativa é este múltiplo do erro relativo de p.
  
  $\frac{d ln N ^}{d ln p} = \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}}$
5. Faça a conta com uma varredura e dá exatamente 1: cada ponto percentual de erro em p é um ponto percentual de erro na população, nem mais nem menos. Com oito varreduras vale 0,242. O mesmo engano custa um quarto.
  
  $k = 1 : \frac{p}{p} = 1; k = 2 : 0.837; k = 8 : \frac{8 \times 0.28 \times 0.7 2 ^{7}}{0.9278} = 0.242$
6. Confirme com o módulo em vez de confiar na derivada. Deixe a taxa real de deteção variar entre 0,20 e 0,40 enquanto o parque continua a assumir 0,28: ao fim de oito varreduras a estimativa oscila entre 55 e 47, e uma busca de duas varreduras, que encontra 24 animais e não 46, oscila entre 67 e 38.
  
  $p = 0.20 \to 0.40 : \hat{N}_{k = 8} = 55.3 \to 46.8, \hat{N}_{k = 2} = 66.7 \to 37.5$
Resposta

Cinquenta animais, a partir de 46 encontrados e de mais nada, e é o desenho de oito varreduras que torna esse número digno de ser citado. Varrer repetidamente faz duas coisas ao mesmo tempo: eleva a cobertura na direção de 1 e empurra para 0 o peso da taxa de deteção. Uma varredura única deixa passar inteiro qualquer erro em p; oito varreduras absorvem três quartos dele.

A resposta à pergunta do parque é, portanto, varrer outra vez e não calibrar. Medir bem uma probabilidade de deteção é trabalho de campo caro, pois exige animais já conhecidos, e o retorno é o de cima: quantas mais varreduras já fez, menos vale a medição. Isto também esclarece para que serve realmente o comando Varreduras da busca. Parece um botão para encontrar mais animais e, passadas cerca de dez varreduras, deixou de o ser, porque a cobertura já vai em 96%. O que continua a fazer é tornar a resposta robusta face ao único número que ninguém no parque consegue verificar.

$k \to \infty lim \frac{k p ( 1 - p ) ^{k - 1}}{1 - ( 1 - p ) ^{k}} = 0, k = 1 \Rightarrow 1$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-25

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Problemas de exemplo

Não há reprodução - Cinquenta animais, libertados em três lotes, sem qualquer reprodução. A busca encontra 46 e os tamanhos formam três aglomerados compactos. A evidência para uma libertação controlada é +68,3, um valor que não deixa dúvidas.
A contagem que oculta o excedente - Quarenta animais andam à solta e o parque espera 12. A busca para aos 12, reporta uma correspondência perfeita, e 28 animais passam despercebidos. O pior de tudo: tendo apenas esses 12 para medir, a evidência de reprodução fixa-se em −2,6, um valor insuficiente para tirar conclusões.
Mesmo parque, sem limite - O mesmo parque sem o limite de contagem. Aparecem agora 37 animais, mais 25 do que o esperado. Esses 37 colocam a evidência de reprodução em −18,5. O parque em si não sofreu alterações. Mudou apenas a instrução para parar de contar.