Lições Interativas de Matemática e Ciências

Explorador da esfera de Bloch

estados de um único qubit, medições em diferentes bases e rotações de porta na esfera de Bloch

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Em δ = π as duas metades se cancelam exatamente 🖖

No equador o estado é uma divisão igual de |0⟩ e |1⟩, então uma medida em Z é cara ou coroa faça a fase o que fizer. Ainda assim a fase decide tudo — ela apenas aparece nas bases X e Y. O painel de fasores torna isso visível: ele desenha A = 1 + eiδ e varre δ sozinho, como animação e não como controle. A amplitude é |A| = 2cos(δ/2), então a probabilidade segue cos²(δ/2): 100% cheios em δ = 0, exatamente 50% em δ = π/2 e um zero limpo em δ = π, onde dois fasores unitários apontam em sentidos opostos e somam nada. Populações idênticas, resultado oposto — esse cancelamento é o recurso que todo algoritmo quântico gasta.

Um qubit cabe num globo 🖖

O estado completo de um único qubit é apenas um ponto na superfície desta esfera. O polo norte é |0⟩, o polo sul é |1⟩, e tudo entre eles é uma superposição. A latitude (θ) define como as probabilidades se dividem entre 0 e 1 — os polos são certeza, o equador é uma moeda 50/50 —, enquanto a longitude (φ) define a fase. Na prática: medir na base Z é apenas perguntar para qual hemisfério o seu ponto se inclina.

São precisos 720° para voltar para casa 🖖

Repare no meio-ângulo: o estado usa cos(θ/2), não cos(θ). Esse fator dois é a marca de uma ligação profunda — as rotações em 3D formam o grupo SO(3), mas o verdadeiro espaço de estados de um qubit é SU(2), que o recobre duas vezes. A consequência é surpreendente: gire um qubit 360° completos e o seu vetor de estado inverte para -|ψ⟩ em vez de voltar; só uma segunda volta, 720° completos, o restaura. Todo elétron compartilha este comportamento de espinor, ilustrado pelo truque do cinto de Dirac.

Problema resolvido na íntegra

  1. Um qubit em θ = 90° com leitura 50/50 como uma moeda 5 passos

    Um qubit em θ = 90° indica 50/50. Isso parece uma moeda. Descubra por que motivo não é — e para onde foi a certeza.

    1. Um estado puro de um qubit é definido por dois ângulos numa esfera. θ define a forma como a probabilidade se divide entre |0⟩ e |1⟩; φ define uma fase que a medição em Z não consegue ver de todo.

    2. Em θ = 90°, os dois cossenos são iguais, pelo que ambos os resultados são exatamente metade. Medido na base Z, este estado é realmente indistinguível de uma moeda equilibrada.

    3. Mas o estado contém mais do que essas duas probabilidades. O vetor de Bloch aponta ao longo de +x e o seu comprimento é 1.

    4. Um comprimento de 1 significa que o estado é puro — encontra-se na superfície da esfera. Uma moeda verdadeiramente aleatória seria um estado misto no centro, com comprimento 0, e ambos dão 50/50 em Z.

    5. A diferença revela-se noutra base. Este estado é |+⟩, e medi-lo ao longo de x devolve + com certeza, sempre.

    Resposta

    A ferramenta mostra 50,00% para ambos os resultados com um vetor de Bloch de (1, 0, 0). A lição é que 50/50 é uma afirmação sobre a base que escolheu, não sobre o estado. Uma moeda é aleatória em qualquer base; este qubit é aleatório numa e completamente determinado noutra, e a superfície da esfera é onde essa distinção reside. Alterne o seletor de base de Z para X e veja o mesmo estado indicar 100/0 sem que nada nele tenha mudado.

Referências (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

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