Ponto flutuante

Digite um número decimal. Os passos abaixo detalham a conversão, feita exatamente como a faria no papel, e a linha no topo mostra o que um computador acaba por guardar.

Exemplo resolvido — Ponto flutuante

Armazenado como	0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
Erro	+0,0000000000000000055511151231257827021181583404541015625
Até ao próximo número representável	0,00000000000000001387778780781445675529539585113525390625
Algarismos decimais suportados	15,95
Resultado	0,3000000000000000444089209850062616169452667236328125
O que teria escrito, armazenado	0,299999999999999988897769753748434595763683319091796875

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Ponto flutuante284 palavras

Um número de ponto flutuante é um número inteiro multiplicado por uma potência de dois: (−1)^s × 1.f × 2^E−1023. O formato decide quantos bits pertencem a E e quantos a f, e essa única divisão define tanto o alcance do formato quanto a sua precisão ao distinguir dois números.

O que significa cada símbolo

s: o bit de sinal, 0 para positivo e 1 para negativo. Permanece isolado em vez de ser incorporado no número, razão pela qual o formato apresenta tanto um +0 como um −0.
E: o campo do expoente, armazenado com o acréscimo de 1023 para que possa assumir valores negativos sem precisar de um sinal próprio. É ele que escolhe em que intervalo o número se encontra, e é o intervalo que decide a distância entre os vizinhos.
f: a fração: 52 bits que sucedem a um 1 inicial que nunca é armazenado, dado que um número normalizado começa sempre por um. Estes 52 bits representam toda a precisão do formato, à qual o expoente não acrescenta nada.

Pressupõe: Que o número é finito e normal. Abaixo de 2⁻¹⁰²², o 1 inicial é omitido e o formato mantém-se sacrificando a precisão. Como resultado, o menor double positivo é 4,94 × 10⁻³²⁴ e carrega um único bit de significando.
Falha quando: Em dois lugares, ambos em código real. Comparar dois valores calculados com = falha sempre que venham de vias distintas, porque rotas diferentes introduzem arredondamentos diferentes. Uma soma longa depende também da ordem de adição: some uma lista numa direção e depois na outra, e os totais divergem. Somar primeiro os termos menores é a forma de perder menos.

Oito entre mil 🖖

Dos números de 0,001 a 1,000, exatamente oito são mantidos sem nenhum erro: 0,125; 0,25; 0,375; 0,5; 0,625; 0,75; 0,875 e 1. Uma fração binária é uma soma de metades, quartos, oitavos e por aí adiante, e um denominador de 1000 contém um fator de 125 que nenhuma potência de dois jamais eliminará. Digite 0,375 e a ferramenta considera o valor exato. Digite 0,376 e ela não o fará.

0,1 + 0,2 cai exatamente a meio 🖖

Os dois valores armazenados somam 0,3000000000000000166533453693773481063544750213623046875, e esse é o ponto médio preciso entre os dois números de dupla precisão de cada lado de 0,3. A adição propriamente dita é impecável. O empate tem de ser desfeito de alguma forma, e a regra consiste em adotar o vizinho cujo último bit seja par. O valor de dupla precisão abaixo de 0,3 termina a sua fração num bit ímpar e o que se encontra acima termina num bit par, pelo que a soma é arredondada para cima. É daí que provém a cauda do número 0,30000000000000004.

Menos bits, a resposta certa 🖖

Selecione binary32 com os mesmos dois números. O 0,1 + 0,2 dá 0,300000011920928955078125, que é exatamente a forma como o 0,3 é armazenado nesse formato. O célebre fracasso desta conta exige que a soma resulte num empate. Com 24 bits, o resultado fica a um quarto de intervalo de distância de o ser, pelo que arredonda de volta para o número que esperava. Tem metade da precisão e a resposta que pretendia.

O intervalo duplica a cada potência de dois 🖖

Em qualquer ponto entre 0,0625 e 0,125, a distância de um número representável para o seguinte é de 1,39 × 10⁻¹⁷, sem sofrer qualquer variação dentro dessa faixa. Ao passar para a faixa superior, a distância duplica. A escadaria no gráfico ilustra precisamente isso: um degrau por cada potência de dois. É por este motivo que o mesmo formato consegue armazenar 10⁻³⁰⁰ e 10³⁰⁰, mas é incapaz de guardar o 9007199254740993.

Problema resolvido na íntegra

Um sistema de pagamentos armazena montantes em libras no formato binary64. Mostre que £0,10 e £0,20 são ambos armazenados ligeiramente por excesso, que a sua soma não dá £0,30, e explique o que um engenheiro de pagamentos faz para solucionar o problema.
1. O valor 0,1 na base dois é 0,0001 seguido de 1001 a repetir-se infinitamente. Um décimo requer um cinco no seu denominador e uma fração binária é composta apenas por fatores de dois, de modo que a expansão nunca termina.
  
  $0. 1_{10} = 0.0001 \overline{1001}_{2} = 1. \overline{1001}_{2} \times 2^{- 4}$
2. São mantidos 53 algarismos binários e os restantes são eliminados por arredondamento. Neste caso arredondam para cima, pelo que o valor armazenado fica 5,55 × 10⁻¹⁸ acima de 0,1. O passo de arredondamento na página ilustra essa direção com uma seta.
  
  $fl (0.1) = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625$
3. O número 0,2 corresponde a esses mesmos 53 algarismos mas com o expoente superior em uma unidade, logo o seu erro é o dobro exato: 1,11 × 10⁻¹⁷. Introduza 0,2 na caixa e compare os dois cartões de erro.
  
  $fl (0.2) = 2 fl (0.1) ⟹ fl (0.2) - 0.2 = 2 (fl (0.1) - 0.1) = + 1.1102 \times 1 0^{- 17}$
4. Quando somados, os dois valores armazenados recaem exatamente no ponto médio entre os dois números de dupla precisão de cada lado de 0,3. Em caso de empate, escolhe-se o vizinho que termina num bit par, que aqui corresponde ao valor imediatamente superior.
  
  $fl (0.1) + fl (0.2) = \frac{1}{2} (fl (0.3) + fl (0.3)^{+})$
5. Assim, o resultado devolvido é 0,3000000000000000444089209850062616169452667236328125, e todos os cálculos seguintes vão arrastá-lo.
  
  $fl (0.1) + fl (0.2) ⟶ 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125 \neq = 0.3$
6. Agora digite 10 e 20 em vez de 0,1 e 0,2. Ambos são números inteiros bastante inferiores a 2⁵³, ambos são armazenados de forma exata, e 10 + 20 é 30 sem qualquer perda no processo.
  
  $∣ n ∣ < 2^{53} ⟹ fl (n) = n : 10 + 20 = 30$
Resposta

Guarde o dinheiro como um número inteiro da unidade mais pequena, pence em vez de libras, e a aritmética torna-se exata porque todos os inteiros até 2⁵³ são exatos. O único arredondamento que resta é aquele que você próprio escreve, no momento em que decidir fazê-lo, e para o qual pode apontar. A ferramenta mostra os dois lados em dez segundos: digite 0,1 e o cartão de erro não será nulo; digite 10 e será.

$fl (0.1) + fl (0.2) = fl (0.3)^{+}, fl (10) + fl (20) = 30$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-08

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Computação →

Problemas de exemplo

0,1 - O valor 0,1 é guardado como 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625, e o 0,2 sofre de um excesso duas vezes superior. A soma de ambos cai exatamente a meio caminho entre os dois números em redor do 0,3. É então aplicada a regra de desempate, que decide arredondar para cima.
0,375 - A linha de base dois para após três algarismos em vez de continuar infinitamente, e a ferramenta considera o valor exato. 0,375 é igual a 3/8, e uma fração binária é constituída por oitavos. Mude o último algarismo para 0,376 e a expansão nunca terminará.
0,1 em 32 bits - O mesmo 0,1 em 24 bits de significando em vez de 53: mantido como 0,100000001490116119384765625, e a ferramenta indica 7,22 dígitos decimais. Adicione 0,2 aqui e a resposta é 0,300000011920928955078125, que corresponde exatamente à forma como o 0,3 é armazenado neste formato.
2⁵³ + 1 - Acima de 2⁵³, o intervalo atinge o valor 2, perdendo-se assim um em cada dois números inteiros. O 9007199254740993 encontra-se exatamente entre dois deles, e o desempate atira-o para baixo, para 9007199254740992, com um erro de −1. Somar 1 a este valor não muda nada, pela mesma razão.
10¹⁶ + 1 - Tanto o 10¹⁶ como o 1 são representados com exatidão. Contudo, 10¹⁶ + 1 resulta em 10¹⁶. O intervalo aqui é 2, logo 10000000000000001 constitui um empate entre dois vizinhos. A regra do último bit par, que atirou o 0,1 + 0,2 para cima, empurra este de volta para baixo.