Período de Retorno de Perigo e Risco Cumulativo

Explore como as probabilidades anuais se acumulam ao longo de décadas e veja como os códigos de construção resolvem os períodos de retorno ao contrário.

Exemplo resolvido — Período de Retorno de Perigo e Risco Cumulativo

Contagem Esperada n/T	0,30
Período de Retorno Exigido	285

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Uma inundação de 100 anos representa 26% de risco num financiamento de 30 anos 🖖

Uma 'inundação de 100 anos' não significa um evento que acontece regularmente uma vez por século. Ela descreve uma probabilidade anual de excedência de 1/100, ou 1% em qualquer ano. Num financiamento de 30 anos, a probabilidade cumulativa de enfrentar pelo menos uma inundação é 1 − (1 − 0,01)³⁰ = 26,03% — mais de 1 em 4. Em 100 anos, essa chance é de 63,40%, enquanto a chance de nunca ocorrer é de 36,60%. O período de retorno é simplesmente o inverso da probabilidade anual.

A constante de 63%: esperar um período de retorno completo nunca dá certeza 🖖

Se você definir a janela de exposição n igual ao período de retorno T, o risco cumulativo 1 − (1 − 1/T)ᵀ converge rapidamente para 1 − 1/e ≈ 63,21%. Para T = 10, o risco é 65,13%; para T = 50, 63,58%; para T = 100, 63,40%; e para T = 500, 63,25%. Esperar um período de retorno completo dá cerca de 63% de chance de vivenciar o perigo, nunca 100%. A premissa de independência matemática é fundamental aqui: na realidade, mudanças climáticas podem alterar a distribuição de probabilidade subjacente.

Os códigos de construção são esta equação resolvida ao contrário 🖖

Invertendo a relação, obtém-se T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)), em que R é o risco admissível e n é a vida útil de projeto. Há muito que os códigos de estruturas e de projeto sísmico se baseiam nesta inversão. Admitir um risco de 10% ao longo de uma vida útil de 50 anos exige projetar para um evento com período de retorno de 475 anos (o Sismo-Base de Projeto). Reduzir o risco admissível para 2% em 50 anos eleva o período de retorno necessário para 2.475 anos (o Sismo Máximo Considerado). Estes conhecidos períodos de retorno não são periodicidades geológicas: resultam de aplicar uma linha de álgebra ao grau de risco que aceitamos.

Problemas resolvidos na íntegra

Duas cheias de 100 anos que atingem a mesma cidade durante uma hipoteca de 30 anos 6 passos
Duas «cheias de 100 anos» atingem a mesma cidade durante uma hipoteca de 30 anos. Que nível de azar estará aqui em causa? E quantas cidades são necessárias para que isto acabe por acontecer a alguém na maioria das vezes?
1. Um período de retorno de T = 100 anos equivale a uma probabilidade anual de excedência de p = 1/T = 0,01. O cartão Probabilidade Anual indica 1,00%.
  
  $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
2. Podemos tratar os 30 anos como 30 ensaios independentes. A probabilidade de atravessar este período sem qualquer cheia é 0,99³⁰ = 0,7397, pelo que a probabilidade de sofrer pelo menos uma é de 26,03%. Pode encontrar ambos os números na página, nos cartões Probabilidade de Nenhuma e Risco ao Longo da Vida.
  
  $P (0) = (1 - p)^{30} = 0.9 9^{30} = 0.7397 ⟹ P (\geq 1) = 0.2603$
3. Ter exatamente uma cheia implica escolher em qual dos 30 anos ela ocorre: 30 × 0,01 × 0,99²⁹ = 0,2242.
  
  $P (1) = (1 30) p (1 - p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.9 9^{29} = 0.2242$
4. Tudo o que sobra corresponde a duas ou mais: 1 − 0,7397 − 0,2242 = 0,03615. O cartão Probabilidade de ≥2 Eventos exibe 3,61%, sensivelmente uma hipoteca em cada 28.
  
  $P (\geq 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615$
5. Isto aplica-se a uma única cidade. Imaginemos agora N cidades, cada uma no seu próprio rio e com o seu próprio limiar de 1%. A probabilidade de nenhuma delas sofrer duas cheias é 0,96385 elevado a N, e igualar este valor a metade dá-nos N = ln 0,5 / ln 0,96385 = 18,8.
  
  $(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 ⟹ N = \frac{ln 0.5}{ln 0.96385} = 18.8$
6. Dezanove cidades. Numa amostra de cem cidades, a probabilidade de pelo menos uma receber duas cheias de 100 anos nos mesmos 30 anos é 1 − 0,96385¹⁰⁰ = 97,5%, e o número esperado dessas cidades é 100 × 0,03615 = 3,61.
  
  $1 - 0.9638 5^{100} = 0.9748$
Resposta

Duas ou mais cheias correspondem a uma probabilidade de 3,61% onde vive e de 97,5% no conjunto de cem bacias hidrográficas. Cada cartão desta página considera um único local e um único limiar; o que fez a probabilidade passar de 3,61% para 97,5% foi o número de rios que se decidiu observar. Por isso, «duas cheias com período de retorno de 100 anos algures no decurso de uma vida» são notícia quase todos os anos, sem que isso demonstre qualquer mudança. Para a detetar, é necessária a série de medições de um único posto fluviométrico, não uma contagem de manchetes. Os cálculos acima também pressupõem que as localidades são independentes, mas as bacias hidrográficas não o são, pois um mesmo sistema de tempestades provoca cheias em localidades vizinhas. Uma correlação positiva reduz o valor real para menos de 97,5%. Esta página não permite determinar quanto: o modelo abrange apenas um local.

$N_{\geq 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61$
O sismo de 475 anos e o edifício que sobrevive à sua vida útil de projeto 6 passos
Uma norma exige no máximo 10% de probabilidade de excedência em 50 anos. Determine o período de retorno que isso obriga e decida depois se a promessa se mantém para um edifício que continua de pé aos 100.
1. Este é o primeiro problema percorrido ao contrário. Aí a perigosidade era dada e o risco saía; aqui o risco é fixado por uma comissão e o que falta encontrar é a perigosidade. Cinquenta anos limpos, com probabilidade 0,90.
  
  $(1 - p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90$
2. Extraia a raiz quinquagésima e subtraia de um. A probabilidade anual de excedência é 0,0021, e o cartão Probabilidade Anual indica 0,21%.
  
  $p = 1 - 0.9 0^{1/50} = 1 - e^{(l n 0.90) /50} = 0.0021050$
3. O período de retorno é o seu inverso: 475 anos, que é o que o cartão Período de Retorno Necessário apresenta. Nenhuma geologia escolheu esse número. Uma comissão escolheu 10% e 50 anos, e uma linha de álgebra devolveu 475.
  
  $T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06$
4. O atalho a que quase toda a gente recorre é 50 a dividir por 0,10, ou seja, 500 anos, e o sentido do seu erro importa. Um evento de 500 anos entrega 9,53% ao longo de 50 anos em vez de 10%, pelo que o atalho pede um evento de projeto ligeiramente maior do que a norma pede. E melhora à medida que o risco desce: com 2% em 50 anos a resposta exata é 2.475 contra uma estimativa de 2.500.
  
  $\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 ⟹ 1 - (1 - \frac{1}{500})^{50} = 9.53%$
5. Deixe agora o edifício de pé durante 100 anos com a mesma perigosidade. As sobrevivências multiplicam-se, pelo que um século limpo é 0,90 ao quadrado, ou seja 0,81. A probabilidade de excedência é 19,00%, não os 20% que a duplicação sugeriria, e nada parecido com os 10% que a norma prometeu.
  
  $(1 - p)^{100} = [(1 - p)^{50}]^{2} = 0.9 0^{2} = 0.81 ⟹ 19.00%$
6. Para manter 10% ao longo de 100 anos, a probabilidade anual tem de descer para 0,105%, um período de retorno de 949,6 anos. Duplique a vida em serviço e o período de retorno exigido duplica com ela, aproximadamente, porque com probabilidades tão pequenas é o expoente que faz todo o trabalho.
  
  $p^{'} = 1 - 0.9 0^{1/100} = 0.0010531 ⟹ T^{'} = 949.6$
Resposta

475 anos para uma vida de 50 anos, e 19,0% de excedência se o mesmo edifício ainda lá estiver aos 100. Os 10% pertencem aos cinquenta anos que alguém escreveu no caderno de encargos, não à estrutura, e crescem mais ou menos ao ritmo dos anos durante os quais o edifício é mantido.

Hospitais, barragens e escolas ultrapassam com frequência a vida útil que serviu para os dimensionar, e nada muda na estrutura quando o fazem. O que muda está no expoente. A ferramenta mostra-o: introduza 475 no modo direto com uma exposição de 100 anos e o cartão Risco ao Longo da Vida indica 19,00%. A forma honesta de citar um evento de projeto é, portanto, acompanhá-lo da sua exposição. 475 anos é a abreviatura de 10% em 50, e destacado desses cinquenta anos é um número grande que soa a garantia.

$T = \frac{1}{1 - ( 1 - R ) ^{1/ n}}, T (0.10, 100) = 949.6 \approx 2 T (0.10, 50)$

Referências (2)

What a "100-year flood" means, and the misreading the tool exists to correct Holmes, R. R. and Dinicola, K. USGS Fact Sheet FS-229-96, "The 100-Year Flood". U.S. Geological Survey.
Where designing to an annual exceedance probability comes from Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606. doi:10.1785/bssa0580051583

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

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Problemas de exemplo

Financiamento de 30 Anos (T=100) - Um perigo anual de 1 em 100 representa um risco de 26,03% ao longo de um financiamento de 30 anos.
Janela de 100 Anos (T=100) - Ao longo de 100 anos, um evento de 100 anos tem 63,40% de chance de ocorrer e 36,60% de chance de nunca ocorrer.
Código Sísmico DBE (10%/50a) - Projetar para um risco de 10% em 50 anos exige um período de retorno de 475 anos (Design Basis Earthquake).
Máximo Considerado MCE (2%/50a) - Projetar para um risco de 2% em 50 anos exige um período de retorno de 2.475 anos (Maximum Considered Earthquake).