Laboratório de distorção cartográfica

Mova o mesmo terreno em direção aos polos e veja o que cada mapa plano sacrifica.

Exemplo resolvido — Laboratório de distorção cartográfica

Escala de área Mercator	14,00×
Escala linear Mercator	3,74×
Escala de área equivalente	1,00×
Alongamento da forma equivalente	14,00:1
Latitude selecionada	74,5°

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Distorção é o preço, não um defeito 🖖

Um globo não pode ser achatado sem distorção. Mercator preserva ângulos locais com alongamento igual leste-oeste e norte-sul, mas a área cresce como sec²(latitude). Uma projeção equivalente comprime norte-sul tanto quanto alonga leste-oeste. Nenhum mapa plano preserva simultaneamente área, ângulos, distância e direção; escolher uma projeção é escolher qual promessa importa.

Por que navegadores aceitaram a ampliação 🖖

Na projeção de Mercator, uma direção constante indicada pela bússola, isto é, uma loxodromia, representa-se por uma linha reta. Assim, era possível traçar rumos com régua e compasso, embora essa linha reta quase nunca corresponda ao trajeto mais curto sobre um globo. As rotas de círculo máximo nunca são mais longas e, fora do equador e dos meridianos, aparecem curvas na projeção de Mercator. Esta projeção foi concebida para resolver um problema de navegação, não para ordenar países pelo tamanho.

Os pequenos círculos que auditam cada mapa 🖖

As elipses nas grades são indicatrizes de Tissot: círculos infinitesimais imaginários sobre a Terra depois de projetados. Um círculo que permanece redondo indica preservação de ângulos; áreas iguais indicam preservação de área. Tamanho e achatamento tornam a distorção visível.

Problemas resolvidos na íntegra

A Gronelândia a 74,5° norte e o único número que qualquer projeção tem de gastar em algum lado 6 passos
A Gronelândia ocupa 2,166 milhões de km² e situa-se perto de 74,5° N. Determine como a projeção de Mercator a representa. Em seguida, compare as três projeções a essa latitude e descubra o que têm em comum.
1. A projeção de Mercator foi concebida para preservar os ângulos, e essa condição determina tudo o mais. Ao longo de um paralelo, um grau de longitude corresponde a uma distância no terreno reduzida por cos φ; para manter a forma local, o mapa tem de ampliar a direção leste–oeste por um fator de 1/cos φ = sec φ.
  
  $sec φ = \frac{1}{cos 74. 5 ^{\circ}} = \frac{1}{0.2672} = 3.742$
2. A 74,5°, cos φ = 0,26724, logo sec φ = 3,742. Nessa latitude, todas as distâncias na direção leste–oeste são representadas com um comprimento 3,742 vezes maior.
3. Os ângulos só se conservam se a direção norte–sul for ampliada pelo mesmo fator. Por isso, a área é multiplicada duas vezes por sec φ: sec² φ = 14,002, valor que o painel arredonda para 14,00.
  
  $A_{Mercator} = sec^{2} φ = 3.74 2^{2} = 14.00$
4. Façamos a conta. 2,166 × 14,002 = 30,33 milhões de km², portanto uma região situada à latitude média da Gronelândia aparece na projeção de Mercator com 14 vezes a sua área real. A razão entre as formas permanece igual a 1, pelo que não se nota qualquer deformação num ponto isolado. Ainda assim, o país deforma-se ao longo dos seus 24 graus de latitude, pois a escala não é igual nas duas extremidades.
  
  $2.166 \times 14.002 = 30.33 million km^{2}$
5. Agora as outras duas à mesma latitude. A projeção equivalente mantém a área em 2,166 ao comprimir o sentido norte–sul para 0,2672 enquanto o sentido este–oeste continua a esticar 3,742, pelo que a sua razão de forma é 3,742 ÷ 0,2672 = 14,00. A projeção Plate carrée deixa o sentido norte–sul inalterado: área 3,742, forma 3,742.
  
  $equal-area: \frac{3.742}{0.2672} = 14.00 (shape), area = 1$
6. Multiplique cada par. Mercator 14,00 × 1; equivalente 1 × 14,00; plate carrée 3,742 × 3,742. As três dão 14,00, e 14,00 é sec² φ — o número de onde partimos.
  
  $area \times shape = sec^{2} φ = 14.00 for all three$
Resposta

A Gronelândia aparece com 30,33 milhões de km², e todas as projeções consideradas apresentam nessa latitude a mesma distorção total de 14,00; apenas podem escolher onde a concentrar. Em qualquer uma destas três construções cilíndricas, o produto do erro de área pelo erro de forma é sec² φ. Assim, a pergunta sensata sobre um mapa não é «está distorcido?», mas «que distorção decidiu o autor considerar aceitável?». Mercator concentra toda a distorção na área e nenhuma na forma, precisamente o que interessa a um navegador: um rumo constante corresponde a uma linha reta, e o tamanho incorreto de um país nunca fez naufragar ninguém. Uma projeção equivalente concentra toda a distorção na forma, o que convém quando o mapa serve para comparar lugares. A projeção equiretangular reparte-a por igual e é a única das três que não se destaca em nenhum aspeto. A sua vantagem é fazer da latitude e da longitude simples coordenadas x e y, algo importante para um computador, mas não para um leitor. Ajuste a latitude para 60° e as contas tornam-se exatas: sec 60° = 2, portanto o total é 4, e cada projeção distribui esse 4 de maneira diferente.
Meia folha de Mercator para um duodécimo do mundo 6 passos
A 78,2°, o painel coloca o alongamento leste–oeste de Mercator em 4,89 e o seu fator de área em 23,91. Ambos são locais. Determine em que ponto da folha essa latitude é desenhada e decida depois como o papel é repartido.
1. Os dois números impressos descrevem uma mancha. Dizem quanto é ampliado um pequeno pedaço de terreno situado a 78,2°, e nada sobre o sítio da folha onde esse pedaço é desenhado.
  
  $sec 78. 2^{\circ} = \frac{1}{0.2045} = 4.89, sec^{2} 78. 2^{\circ} = 23.91$
2. A posição é a acumulação de todo o alongamento que fica por baixo. Um passo de dφ para norte cobre uma distância fixa no terreno e é desenhado sec φ vezes mais comprido, pelo que a coordenada y da folha cresce exatamente ao ritmo que o painel apresenta.
  
  $d y = sec φ d φ ⟹ y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'}$
3. Esse integral tem forma fechada, e é aquela que a construção do próprio Mercator esconde. A 78,2° dá 2,270.
  
  $y = ln tan (4 5^{\circ} + \frac{φ}{2}); y (78. 2^{\circ}) = ln tan 84. 1^{\circ} = ln 9.677 = 2.270$
4. A folha tem de ser cortada, porque y tende para infinito no polo. Corte aos 85°, como este mapa faz, e a semialtura é 3,131, de modo que a latitude de Svalbard fica a 72,5% do percurso para cima.
  
  $y (8 5^{\circ}) = ln tan 87. 5^{\circ} = ln 22.90 = 3.131, \frac{2.270}{3.131} = 72.5%$
5. Que latitude fica a meia altura? Inverta a mesma fórmula a metade da altura e obtém 66,4°, a menos de um quinto de grau do círculo polar ártico.
  
  $y = \frac{1}{2} (3.131) = 1.566 ⟹ φ = 2 arctan e^{1.566} - 9 0^{\circ} = 66. 4^{\circ}$
6. Agora o terreno por baixo. A área entre dois paralelos varia com a diferença dos seus senos, pelo que a metade superior dessa folha, tudo o que fica a norte de 66,4°, contém 8,0% do que está desenhado. A faixa do equador aos 30°, que ocupa 17,5% da altura, contém 50,2%.
  
  $\frac{sin 8 5 ^{\circ} - sin 66. 4 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = \frac{0.9962 - 0.9166}{0.9962} = 8.0%, \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{sin 8 5 ^{\circ}} = 50.2%$
Resposta

y = 2,270, ou seja, 72,5% do caminho até ao corte aos 85°. O 4,89 do cartão é um ritmo de alongamento e a posição é o seu integral, e é o integral que decide como o papel é repartido. Metade da altura de uma folha cortada aos 85° vai para os 8% do mundo acima de 66,4°, enquanto a metade do mundo contida dentro dos 30° recebe 17,5% dela. O inchaço da Gronelândia e a disposição da página são a mesma secante, elevada ao quadrado para uma mancha e integrada para a folha.

$y (φ) = \int_{0}^{φ} sec φ^{'} d φ^{'} = ln tan (\frac{π}{4} + \frac{φ}{2})$

Referências (3)

Mercator is conformal, keeps rhumb lines straight, and grossly distorts area on world maps: PROJ contributors, “Mercator.” PROJ 9 documentation.
The spherical Mercator areal scale k² = sec²φ used by the model: J. P. Snyder, Map Projections—A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, 1987.
The cylindrical equal-area projection and its standard-parallel parameter: PROJ contributors, “Lambert Cylindrical Equal Area.” PROJ 9 documentation.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Biologia e Química →

Problemas de exemplo

Latitude da Groenlândia - A 74,5°, a escala de Mercator é 14,00× e a equivalente permanece 1,00×.
Equador - No equador, ambas as projeções começam em 1,00×.
Londres - A 51,5°, Mercator amplia a área para 2,58×.
Svalbard - A 78,2°, Mercator chega a 23,91×.