Explorador de Funções Hiperbólicas

Funções hiperbólicas versus circulares, verificação de identidades e intuição geométrica.

Exemplo resolvido — Explorador de Funções Hiperbólicas

cosh(1)	1.543081
cosh^2(t)-sinh^2(t)	1

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Explorador de Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas têm o nome de uma curva, e esse nome é a ideia toda. Onde (cos t, sin t) percorre a circunferência x² + y² = 1, o par (cosh t, sinh t) percorre a hipérbole x² − y² = 1 — um sinal trocado, uma curva substituída. A pergunta mais difícil, e o verdadeiro assunto desta lição, é o que significa o parâmetro comum t depois de se deixar a circunferência.

O que significa cada símbolo

t: o parâmetro. Na circunferência aprendeu-se a chamar-lhe ângulo. Essa leitura não sobrevive à passagem para a hipérbole, e substituí-la corretamente é o objetivo dos passos 3 e 4.
cosh t: (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, a abcissa do ponto. Nunca menor do que 1 e nunca oscilante — duas coisas que a palavra «cosseno» sugere ativamente e que aqui são falsas.
sinh t: (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, a ordenada. Ilimitada em ambos os sentidos e nula apenas em t = 0.
x² − y² = 1: a hipérbole unitária. Esta página imprime cosh²t − sinh²t nos resultados e mostra sempre 1 — esse número é esta equação, e aí está a razão do nome.

De onde vem a fórmula

Comecemos onde a intuição se formou. O ponto (cos t, sin t) está na circunferência unitária, e numa circunferência o parâmetro t tem duas leituras que dão o mesmo número: é o comprimento de arco percorrido desde (1, 0), e é o dobro da área do setor varrido a partir do centro. Como ambas coincidem, ninguém é obrigado a escolher, e todos saem da escola a chamar ângulo a t.
Troquemos agora um sinal e peçamos um ponto sobre x² − y² = 1. Tomemos cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 e sinh t = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2, elevemos ao quadrado e subtraiamos: os termos cruzados cancelam-se e resta (e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ)/4 − (e²ᵗ − 2 + e⁻²ᵗ)/4 = 1. Logo (cosh t, sinh t) está nessa hipérbole para todo o t real, por construção. É esta a identidade que a página imprime, e toda a justificação da palavra «hiperbólica».
Qual das duas leituras de t passa então? O comprimento de arco não. A distância percorrida ao longo da hipérbole de (1, 0) até (cosh t, sinh t) não é t, e não tem fórmula elementar nenhuma — é um integral elíptico, razão pela qual nenhum manual a dá. A que sobrevive é a outra: a área.
Eis essa afirmação merecida em vez de apenas atirada. O setor hiperbólico — limitado pelo eixo dos x, pelo raio até (cosh t, sinh t) e pela própria curva — é o triângulo sob o raio menos a região sob a hipérbole. O triângulo vale ½·cosh t·sinh t. Para a outra parte, ∫√(x² − 1) dx = ½(x√(x² − 1) − arcosh x), e avaliando de 1 a cosh t obtém-se ½(cosh t·sinh t − t), já que √(cosh²t − 1) = sinh t e arcosh(cosh t) = t. Subtraindo: ½·cosh t·sinh t − ½(cosh t·sinh t − t) = t/2. A área do setor é exatamente t/2 — a mesma regra da circunferência.
A afirmação honesta é, portanto, que t é o dobro de uma área varrida, em ambas as geometrias, e que «ângulo» foi uma coincidência da circunferência que não viaja. É por isso que o painel geométrico marca aqui dois pontos e nenhum ângulo: ao arrastar o cursor, o ponto circular varre a uma taxa angular constante enquanto o hiperbólico visivelmente não, e a grandeza que partilham é a área que deixam atrás, não a direção em que se encontram.

Como ler o que vê

Dois painéis e dois números. À esquerda, a função escolhida em função de t; à direita, a geometria, a mais interessante das duas — uma circunferência unitária com (cos t, sin t) ao lado da hipérbole com (cosh t, sinh t), ambas movidas pelo mesmo cursor. A caixa «comparar com as circulares» sobrepõe o par circular, tornando a divergência diretamente visível. Das leituras, é a segunda que interessa: cosh²(t) − sinh²(t) marca 1.000000 em qualquer regulação, porque não é um resultado calculado mas a equação da curva, reescrita.

Pressupõe: t real e o ramo direito da hipérbole — cosh t ≥ 1 sempre, pelo que esta parametrização nunca alcança o ramo esquerdo, e nenhum t real o alcançará. A hipérbole unitária em concreto, com ambos os semieixos iguais a 1; uma x²/a² − y²/b² = 1 geral exige (a·cosh t, b·sinh t) e o bonito resultado da área ganha um fator ab. E a área contada como setor com sinal medido a partir do semieixo positivo, de modo que um t negativo varre por baixo.
Falha quando: O nome engana em duas direções ao mesmo tempo, e vale a pena guardar ambas. Leia t como um ângulo e qualquer gráfico hiperbólico fica silenciosamente errado: não há na figura ângulo nenhum que valha t, e o comprimento de arco, o outro candidato natural, não é elementar. Leia «cosseno» como uma oscilação limitada e segue-se o erro oposto — cosh t nunca é menor do que 1 e nunca volta a descer, que é precisamente por que é a forma de uma corrente suspensa e não a de uma onda. Estas funções têm o nome da curva que parametrizam, não de qualquer comportamento partilhado com as suas homónimas circulares.

Galileu tomou a corrente pendurada por uma parábola 🖖

Uma corrente pendurada sob o próprio peso parece tanto uma parábola que Galileu a registrou como tal em 1638. Não é: a curva verdadeira é y = a cosh(x/a), a catenária, e a diferença é real, não um detalhe de arredondamento. Joachim Jungius mostrou que a parábola estava errada, e em 1691 Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli produziram independentemente a curva correta em resposta a um desafio público de Jakob Bernoulli. O nome vem de catena, corrente em latim. Vire a forma de cabeça para baixo e você obtém o único arco que sustenta o próprio peso em compressão pura, sem flexão em lugar algum — por isso o Gateway Arch em St. Louis é uma catenária e não uma parábola.

Apenas exponenciais disfarçadas 🖖

Se tirarmos os nomes rebuscados, sinh e cosh são simplesmente construídas a partir das funções exponenciais e^t e e^-t: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 e sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. Assim, cosh é a média de uma exponencial crescente e uma decrescente, enquanto sinh é a metade da diferença entre elas. É por isso que cosh nunca desce abaixo de 1 e sinh passa limpamente pela origem.

A ponte que dispensa o i 🖖

É possível converter entre funções hiperbólicas e circulares sem nenhum número imaginário, usando a função de Gudermann gd(t): sin(gd t) = tanh(t) e tan(gd t) = sinh(t). Sua inversa, ln(tan(π/4 + φ/2)), é exatamente a coordenada vertical da projeção de Mercator. Assim, toda carta náutica clássica é traçada, discretamente, com a geometria de sinh e cosh.

Problema resolvido na íntegra

Cosh 1 a partir das exponenciais e da quantidade física 1,543081 6 passos
Calcule cosh 1 a partir das exponenciais, demonstre a identidade que dá a estas funções o seu nome — e descubra que grandeza física é 1,543081.
1. Ambas as funções são construídas a partir das mesmas duas exponenciais, diferindo apenas num sinal. Tudo o resto decorre daí.
  
  $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}, sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$
2. Avalie em t = 1 com e = 2,718282. Este é o número que a ferramenta apresenta.
  
  $cosh 1 = \frac{2.718282 + 0.367879}{2} = \frac{3.086161}{2} = 1.543081$
3. Eleve ambas ao quadrado e subtraia. Os termos cruzados cancelam-se e o que resta é 4/4 — uma identidade sem qualquer aproximação, e a razão pela qual o parâmetro traça uma hipérbole em vez de um círculo.
  
  $cosh^{2} t - sinh^{2} t = \frac{( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - ( e ^{t} - e ^{- t} ) ^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1$
4. Em vez disso, some-as e a exponencial reaparece intacta. A razão é tanh, que é limitada por ±1 independentemente de quão grande o argumento se torne — um limite que será importante dentro de instantes.
  
  $cosh t + sinh t = e^{t}; tanh 1 = \frac{1.175201}{1.543081} = 0.761594$
5. Tome essa razão limitada como uma velocidade em unidades de c e calcule o fator de Lorentz. Devolve exatamente o número do passo 2.
  
  $γ = \frac{1}{1 - β ^{2}} = \frac{1}{1 - 0.76159 4 ^{2}} = \frac{1}{0.419974} = 1.543081 = cosh 1$
6. Agora, some duas rapidezes da forma habitual e converta de novo. O resultado concorda com a adição relativista de velocidades, o que torna a rapidez a coordenada natural.
  
  $tanh (1 + 1) = 0.964028 = \frac{0.761594 + 0.761594}{1 + 0.76159 4 ^{2}}$
Resposta

1,543081, que é o fator de Lorentz de algo que se move a 0,7616 c. Isto não é uma coincidência disfarçada de tal. Se definir a rapidez por β = tanh φ, então γ = cosh φ decorre diretamente da identidade demonstrada no passo 3, e toda a relatividade restrita unidimensional torna-se trigonometria hiperbólica. A vantagem é que as rapidezes simplesmente somam-se: dois boosts de rapidez 1 dão tanh 2 = 0,9640 c, que é precisamente o que a fórmula de adição de velocidades de Einstein produz para 0,7616 c combinado consigo próprio. As velocidades não se somam; somam-se os ângulos de que são cossenos.

$cosh 1 = 1.543081 = γ at v = 0.7616 c$

Referências (2)

The lesson — the definitions, the identity and the sector-area interpretation of the argument: F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, ch. 4. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5.
Where the functions and their name come from: V. Riccati, Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, vol. I. Bologna, 1757 — where the hyperbolic sine and cosine are introduced. J. H. Lambert, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin 17, 1768, which brought them into general use.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-22

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Matemática →

Problemas de exemplo

verificação de identidade - Verificação de identidade hiperbólica: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
assíntota de tanh - tanh se aproxima de +/-1 conforme |t| aumenta, diferentemente de tan, que diverge.
forma de catenária - a curva cosh é o perfil da catenária, usado por correntes e cabos pendurados.
relação de derivadas - Relação de derivadas: d/dx sinh = cosh e d/dx cosh = sinh.