Explorador de funções inversas

Escolha uma função, mova um ponto sobre f e observe seu ponto refletido na inversa. Restrinja o domínio para os casos não injetivos.

Exemplo resolvido — Explorador de funções inversas

Ponto P sobre f	(2,4)
Ponto refletido Q sobre f⁻¹	(4,2)
Invertível no domínio atual	Yes

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Por que a raiz quadrada só dá metade das respostas 🖖

Elevar ao quadrado manda 3 e −3 para o mesmo lugar, então fazer o caminho inverso não tem resposta única — e uma função só pode dar uma saída por entrada. A matemática resolve isso amputando: a raiz quadrada é definida como a inversa do quadrado restrito a x ≥ 0. Essa restrição é o motivo de √9 ser 3 e não ±3, e de resolver x² = 9 obrigar você a recolocar o ± à mão. O teste da reta horizontal serve apenas para identificar de antemão quais funções vão precisar dessa cirurgia.

O botão desfazer e como testá-lo 🖖

Uma função inversa é um botão desfazer: se você passa a saída de f por f⁻¹, volta ao valor inicial x. Para encontrá-la, troque x e y na equação e isole — essa troca é exatamente o que reflete as duas curvas em relação à reta y=x. A verificação mais segura é a composição: se f(f⁻¹(x)) = x e f⁻¹(f(x)) = x, você tem de fato um par correto. Converter de Celsius para Fahrenheit e voltar é a mesma ideia no dia a dia.

Funções que são a sua própria inversa 🖖

A maioria das curvas não se parece com sua imagem espelhada em relação a y=x, mas algumas poucas caem exatamente sobre si mesmas. São as involuções, funções que satisfazem f(f(x)) = x: são a sua própria inversa. O recíproco f(x) = 1/x é o caso clássico; sua hipérbole já é simétrica em relação a y=x, então refleti-la não muda nada. O mesmo truque de autodesfazer faz o ROT13 funcionar, onde cifrar o texto duas vezes restaura o original.

FUNÇÕES INVERSAS — EXISTE UMA, E EM QUE DOMÍNIO?

Em que caso de função inversa você está?

Uma função tem inversa exatamente quando duas entradas nunca compartilham a mesma saída — o teste da reta horizontal. Se passa, a inversa é a reflexão em y = x e não há mais nada a decidir. Se falha, você não está preso: corte o domínio para um pedaço onde ela passe, e ali existe uma inversa. Em que caso você está fica resolvido antes de qualquer álgebra.

Estritamente monótona — a inversa existe em toda parte f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

O teste da reta horizontal falha — sem inversa na reta real inteira f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Restrinja o domínio e a inversa volta x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Um par clássico — domínio e imagem trocam de lugar f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Estritamente monótona — a inversa existe em toda parte

O que você sabe: A função nunca repete uma saída, então cada reta horizontal corta o gráfico uma vez. A inversa está definida em toda a imagem.

Teste: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Exemplo resolvido: f(x) = 2x + 1 leva o 2 ao 5, e f⁻¹(x) = (x − 1)/2 devolve o 5 ao 2

Abrir este caso: par linear

Estritamente monótona — a inversa existe em toda parte. Cada horizontal cruza uma vez, então a reflexão em y = x é ela mesma uma função. A função nunca repete uma saída, então cada reta horizontal corta o gráfico uma vez. A inversa está definida em toda a imagem. — Cada horizontal cruza uma vez, então a reflexão em y = x é ela mesma uma função.

O teste da reta horizontal falha — sem inversa na reta real inteira

O que você sabe: Duas entradas diferentes dão a mesma saída, então uma suposta inversa teria de devolver dois valores ao mesmo tempo. Refletir o gráfico dá uma curva, mas não uma função.

Teste: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Exemplo resolvido: f(x) = x² leva tanto 2,5 quanto −2,5 a 6,25, então f⁻¹(6,25) não tem resposta única

Abrir este caso: quadrática (não invertível)

O teste da reta horizontal falha — sem inversa na reta real inteira. A horizontal encontra a parábola duas vezes, então a reflexão não pode ser função. Duas entradas diferentes dão a mesma saída, então uma suposta inversa teria de devolver dois valores ao mesmo tempo. Refletir o gráfico dá uma curva, mas não uma função. — A horizontal encontra a parábola duas vezes, então a reflexão não pode ser função.

Restrinja o domínio e a inversa volta

O que você sabe: Corte o domínio para um trecho onde a função seja monótona. Em x ≥ 0 a parábola passa no teste, e ali √x é a inversa dela.

Teste: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Exemplo resolvido: Em x ≥ 0, f(x) = x² leva 2,5 a 6,25 e f⁻¹(x) = √x devolve 6,25 a 2,5

Abrir este caso: quadrática restrita

Restrinja o domínio e a inversa volta. Metade da parábola é monótona, e nessa metade a reflexão volta a ser função. Corte o domínio para um trecho onde a função seja monótona. Em x ≥ 0 a parábola passa no teste, e ali √x é a inversa dela. — Metade da parábola é monótona, e nessa metade a reflexão volta a ser função.

Um par clássico — domínio e imagem trocam de lugar

O que você sabe: eˣ e ln x são inversas uma da outra. O que uma recebe, a outra entrega: o domínio de cada uma é a imagem da outra.

Teste: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Exemplo resolvido: e¹ = 2,718 e ln(2,718) = 1. eˣ leva todos os reais aos positivos; ln leva os positivos de volta a todos os reais.

Abrir este caso: exp e ln

Um par clássico — domínio e imagem trocam de lugar. Cada curva é a outra refletida em y = x; o semieixo positivo vira a reta inteira. eˣ e ln x são inversas uma da outra. O que uma recebe, a outra entrega: o domínio de cada uma é a imagem da outra. — Cada curva é a outra refletida em y = x; o semieixo positivo vira a reta inteira.

Problema resolvido na íntegra

O ponto (2, 4) em f(x) = x² a refletir-se para (4, 2) 5 passos
O ponto (2, 4) em f(x) = x² passa a (4, 2) na sua inversa. Prove que a reflexão é na reta y = x — e descubra por que razão f precisa que o seu domínio seja restrito.
1. Uma inversa desfaz a função, logo, se f envia a para b, a inversa envia b para a. Trocar as coordenadas é a operação inteira, e é por isso que os dois pontos da ferramenta leem os mesmos dígitos na outra ordem.
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. Essa troca é uma reflexão, e a reta espelho pode ser identificada a partir da geometria em vez de ser afirmada. Tome o ponto médio dos dois pontos.
3. O ponto médio é (3, 3), que pertence a y = x. Isso é verdade para qualquer par (a, b) e (b, a), pois o seu ponto médio tem sempre coordenadas iguais.
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. Agora a direção. O segmento que os une tem declive −1, perpendicular à reta y = x, cujo declive é 1. Uma reta que bisseta um segmento em ângulos retos é a sua mediatriz, pelo que y = x é o espelho.
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. A restrição é imposta pela mesma troca. Sem ela, f envia tanto 2 como −2 para 4, pelo que a aplicação inversa teria de enviar 4 para dois lugares ao mesmo tempo — o que não é uma função.
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
Resposta

A ferramenta apresenta P = (2,4) e Q = (4,2), e indica que a função é invertível no domínio atual. A demonstração é o par de factos nos passos 3 e 4: bissetada por y = x e perpendicular a ela, que é exatamente o que significa reflexão. Vale a pena notar a restrição porque se trata de uma perda real, e não de uma formalidade — x² é uma função perfeitamente válida que simplesmente não tem inversa, e a raiz quadrada é a inversa de uma função diferente, menor, a que também acordámos chamar x². Desative a restrição e observe a curva refletida a deixar de ser uma função.

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

Referências (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-27

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Problemas de exemplo

par linear - Funções lineares são inversíveis globalmente, com simetria de espelho exata.
quadrática (não invertível) - x^2 não é injetora em todos os reais, então a inversa falha globalmente.
quadrática restrita - Restringir x^2 a x>=0 restaura a inversibilidade e resulta em sqrt(x).
exp e ln - exp e ln formam um clássico par de inversas em torno de y=x.