Laboratório de Matemática Musical

teoria dos números, polirritmia e comparação de afinações

Exemplo resolvido — Laboratório de Matemática Musical

● Faixa A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● Faixa B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
Afinado	+50 cents

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Doze quintas justas passam de sete oitavas 🖖

Empilhe doze quintas puras, cada uma com razão de frequências de 3:2, e você deveria voltar à nota de partida, sete oitavas acima. Não volta. (3/2)¹² = 129,7463 enquanto sete oitavas são 2⁷ = 128, então a espiral erra a oitava em 1,4% — a coma pitagórica, 23,46 cents. Não há como afinar um teclado mantendo ao mesmo tempo todas as quintas puras e todas as oitavas puras, porque 3 e 2 não compartilham nenhuma potência comum. O temperamento igual de doze tons resolve isso raspando 1,955 cent de cada quinta: todas as doze ficam ligeiramente baixas e nenhuma exata. Todo piano que você já ouviu está desafinado de propósito e de forma uniforme.

Como um número se torna um acorde 🖖

Todo número inteiro se decompõe em fatores primos, seus blocos indivisíveis. Esta ferramenta transforma cada primo num intervalo musical: 2 é uma oitava, 3 uma quinta justa e 5 uma terça maior. Assim, o número 6 = 2 × 3 soa como uma oitava com uma quinta por cima, enquanto um primo como 7 toca um único tom puro. Você literalmente ouve o esqueleto aritmético de um número.

Ritmos nascidos num acelerador de partículas 🖖

Os padrões de batidas uniformemente espaçados vêm do algoritmo de Bjorklund, concebido para sincronizar pulsos de nêutrons numa fonte de nêutrons por espalação em Los Alamos. Em 2005, o cientista da computação Godfried Toussaint notou que sua saída coincide com ritmos folclóricos do mundo todo — um dos padrões, E(5,8), é o cinquillo cubano. Mais estranho ainda: o método é o algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum, com mais de 2000 anos.

Problema resolvido na íntegra

Uma quinta perfeita com um desvio de 1,96 cents num piano 6 passos
Uma quinta justa é 3/2 na afinação justa e 2^(7/12) num piano. A diferença é de 1,96 cents. Descubra por que razão ninguém a podia simplesmente corrigir.
1. Duas definições do mesmo intervalo. Uma é uma razão de números inteiros pequenos, o que a faz soar consonante; a outra é uma raiz décima segunda, o que a faz caber num teclado.
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. Os cents colocam ambas numa escala logarítmica onde uma oitava é 1200 e os intervalos se somam. A quinta justa não é um número redondo de cents e a temperada é-o, por construção.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. A diferença é pequena — muito abaixo dos 5 cents que a maioria dos ouvintes nota num tom sustentado, razão pela qual o temperamento igual é sequer tolerável.
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. Agora empilhe doze delas e compare com sete oitavas, que é onde doze quintas deveriam chegar.
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. A diferença em cents é a coma pitagórica, e é cerca de um quarto de semitom — inconfundível.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. E é exatamente o pequeno erro, doze vezes. Nada se perdeu ou ganhou no empilhamento; o temperamento igual simplesmente divide a coma por doze e paga-a uma vez por quinta.
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
Resposta

Porque doze dessas diferenças fazem 23,46 cents, e esse é um intervalo real que se consegue ouvir. Empilhe doze quintas puras e chega a 129,746; empilhe sete oitavas e chega a 128. As duas deveriam ser a mesma nota e diferem em 1,4%, a coma pitagórica. Não existe nenhuma afinação que mantenha todas as quintas puras e feche o círculo, porque 3/2 elevado a qualquer potência inteira nunca é uma potência de 2 — as decomposições em fatores primos não podem coincidir. Assim, qualquer afinação de teclado é uma decisão sobre onde colocar a coma: distribuí-la uniformemente por todas as doze quintas, o que é o temperamento igual e custa 1,96 cents a cada uma, ou escondê-la em tonalidades que ninguém toca, que foi o que os temperamentos históricos fizeram e a razão pela qual a música escrita para eles soa diferente em tonalidades diferentes.

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

Referências (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

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Problemas de exemplo

Naturais - Arpejo de números naturais: observe a mandala de fatores primos se expandir.
Fibonacci - Sequência ambiente de Fibonacci: as notas se expandem para fora acompanhando os valores da espiral.
Polirritmia - Loop de polirritmia: um ritmo euclidiano de 5 batidas e outro de 7 batidas tocando em paralelo.
Comparar Afinação - Comparação de afinações: compare a afinação justa (3:2) com o temperamento igual (2^(7/12)).