Curvas polares

Explore curvas polares: r como função do ângulo θ.

Exemplo resolvido — Curvas polares

Equação	1+cos(θ)
r(theta)	0.0000
A	4.7124
(x, y)	(-0.000, -0.000)
theta	3.142 rad (180.0 deg)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

k ímpar dá k pétalas, k par dá o dobro 🖖

Uma rosácea r = cos(kθ) não tem k pétalas, como se poderia esperar. Com k ímpar tem: cos(3θ) desenha 3 pétalas e termina em meia revolução — continue até 2π e a curva apenas repassa as pétalas que já traçou, porque os valores negativos de r caem exatamente sobre os positivos. Com k par não há onde escondê-los, então essas passagens extra viram pétalas novas nos intervalos: cos(4θ) acaba com 8. É exatamente por isso que as duas rosáceas predefinidas desta ferramenta param em lugares diferentes, π para a de 3 pétalas e 2π completos para a de 8.

Distância e direção, não esquerda e direita 🖖

As coordenadas polares fixam um ponto com duas perguntas do dia a dia: a que distância do centro e em que direção? Por isso, formas com um centro natural — espirais, rosas parecidas com flores, órbitas — ganham aqui equações curtas e limpas, enquanto numa grade x-y se transformam em fórmulas trabalhosas. Experimente a predefinição da espiral: r = θ/π significa apenas «o raio cresce de forma constante conforme se gira», mas a versão cartesiana é um emaranhado. A lição: escolha coordenadas que combinem com a simetria do problema e a matemática fica mais simples.

A espiral que Bernoulli quis em seu túmulo 🖖

A espiral logarítmica r = a·e^(bθ) fascinou tanto Jakob Bernoulli que ele a chamou de spira mirabilis — «a espiral maravilhosa» — porque, ao ampliá-la, girá-la ou refleti-la, ela permanece a mesma curva. Ele pediu uma em sua lápide com o lema Eadem mutata resurgo («embora mudada, ressurjo igual»). Mas o canteiro de Basileia gravou uma espiral de Arquimedes (r = aθ) em seu lugar — uma curva completamente diferente, e o erro continua visível até hoje.

CURVAS POLARES — DE QUE FAMÍLIA É ESTA, E QUANTAS PÉTALAS?

Em que caso de curva polar você está?

Na forma polar, a figura é decidida pela fórmula de r e por quanto θ precisa percorrer até a curva fechar. Rosáceas vêm de cos nθ, e o número de pétalas depende de n ser ímpar ou par. Cardioides e limaçons vêm de a + b·cos θ, e a razão a/b decide se há uma reentrância, uma ponta ou um laço por dentro. Reconheça a forma e você já sabe o desenho.

a = b — a cardioide, com uma única ponta na origem a = b ⇒ r(π) = 0

cos nθ com n ímpar — n pétalas, desenhadas em meia volta n = 2k+1 ⇒ # = n

cos nθ com n par — 2n pétalas, e a volta inteira é necessária n = 2k ⇒ # = 2n

b > a — um limaçon com laço interno b > a ⇒ ∃θ: r < 0

a = b — a cardioide, com uma única ponta na origem

O que você sabe: r = a + b·cos θ com a e b iguais. O raio vai de 2a até exatamente zero, então a curva toca a origem uma vez e forma ali uma cúspide.

Forma: a = b ⇒ r(π) = 0

Exemplo resolvido: r = 1 + cos θ: r = 2 em θ = 0°, r = 1 em 90° e r = 0 em 180°. A área encerrada é 3π/2 ≈ 4,712.

Abrir este caso: Cardioide

a = b — a cardioide, com uma única ponta na origem. O raio encolhe a nada em 180° e a curva se fecha numa cúspide. r = a + b·cos θ com a e b iguais. O raio vai de 2a até exatamente zero, então a curva toca a origem uma vez e forma ali uma cúspide. — O raio encolhe a nada em 180° e a curva se fecha numa cúspide.

cos nθ com n ímpar — n pétalas, desenhadas em meia volta

O que você sabe: Um n ímpar dá exatamente n pétalas, e a rosácea fica completa assim que θ vai de 0 a π. Seguir até 2π apenas repassa as mesmas pétalas.

Forma: n = 2k+1 ⇒ # = n

Exemplo resolvido: r = cos 3θ de 0 a π: três pétalas, cada uma cobrindo 60° de θ, com a primeira centrada em θ = 0

Abrir este caso: Rosácea (3)

cos nθ com n ímpar — n pétalas, desenhadas em meia volta. Três pétalas, completas depois de meia volta; o resto do círculo as repete. Um n ímpar dá exatamente n pétalas, e a rosácea fica completa assim que θ vai de 0 a π. Seguir até 2π apenas repassa as mesmas pétalas. — Três pétalas, completas depois de meia volta; o resto do círculo as repete.

cos nθ com n par — 2n pétalas, e a volta inteira é necessária

O que você sabe: Um n par dá o dobro das pétalas que se esperaria, e todas precisam que θ percorra de 0 a 2π inteiro.

Forma: n = 2k ⇒ # = 2n

Exemplo resolvido: r = cos 4θ de 0 a 2π: oito pétalas, cada uma cobrindo 45° de θ

Abrir este caso: Rosácea (8)

cos nθ com n par — 2n pétalas, e a volta inteira é necessária. Oito pétalas: quatro do r positivo e mais quatro dos intervalos em que r fica negativo. Um n par dá o dobro das pétalas que se esperaria, e todas precisam que θ percorra de 0 a 2π inteiro. — Oito pétalas: quatro do r positivo e mais quatro dos intervalos em que r fica negativo.

b > a — um limaçon com laço interno

O que você sabe: r = a + b·cos θ com b maior que a. O raio fica negativo em parte da volta, e esse trecho desenha um laço dentro da curva principal.

Forma: b > a ⇒ ∃θ: r < 0

Exemplo resolvido: r = 1 + 2cos θ: r = 3 em θ = 0°, e r < 0 para θ entre 120° e 240°, que é o laço interno

Abrir este caso: Limaçon

b > a — um limaçon com laço interno. O trecho em que r é negativo se dobra de volta pela origem e vira um laço interno. r = a + b·cos θ com b maior que a. O raio fica negativo em parte da volta, e esse trecho desenha um laço dentro da curva principal. — O trecho em que r é negativo se dobra de volta pela origem e vira um laço interno.

Problema resolvido na íntegra

Área de 4,7124 delimitada pela cardioide r = 1 + cos θ 5 passos
A cardióide r = 1 + cos θ delimita uma área de 4,7124. Deduza este resultado e compare-o com o círculo a partir do qual é construída.
1. A área em coordenadas polares não é ∫y dx. Um setor estreito de ângulo dθ é um triângulo de área ½r²dθ, e integrar esses setores dá a fórmula completa.
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ, r = 1 + cos θ$
2. Assim, o integrando é o quadrado do raio, que para esta curva se desenvolve em três termos.
  
  $(1 + cos θ)^{2} = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ$
3. Cada um integra-se ao longo de uma volta completa sem dificuldade. O termo do meio anula-se — o valor médio do cosseno é zero — e o último recorre ao resultado conhecido de que o valor médio de cos² é meio.
  
  $\int_{0}^{2 π} 1 = 2 π, \int_{0}^{2 π} 2 cos θ = 0, \int_{0}^{2 π} cos^{2} θ = π$
4. Somando-os obtém-se 3π/2, que é 4,7124.
  
  $A = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} = 4.7124$
5. A curva toca a origem exatamente uma vez, em θ = π, onde 1 + cos θ = 0. Essa é a cúspide, e é a razão pela qual a cardióide não é um círculo deslocado.
  
  $r (π) = 1 + cos π = 0 (the cusp), \frac{3 π /2}{π} = 1.5$
Resposta

A ferramenta indica uma área de 4,7124, com r = 0 em θ = 3,142. A comparação é o ponto revelador: o círculo unitário delimita π, pelo que a cardióide encerra exatamente 1,5 vezes mais área, apesar de se estender apenas até r = 2 no seu ponto mais largo e de se estreitar a nada na cúspide. A perspetiva dos setores explica o resultado — a área acumula-se segundo r², pelo que o lado mais largo domina muito mais do que a sua largura sugere. Mude a curva para cos(3θ) e o painel indica 1,5708 — que é π/2, exatamente o dobro da área real de π/4 da rosácea de três pétalas. O integral não está errado; o intervalo é que está. Uma rosácea com um número ímpar de pétalas é traçada por completo quando θ varia até π e volta a ser desenhada até 2π, pelo que os setores são contados duas vezes. Defina o limite superior para 3,14159 e surge 0,7854. A área em coordenadas polares é o único integral em que os limites são uma decisão de modelação e não uma mera formalidade.

$A = \frac{3 π}{2} = 4.7124 = 1.5 \times the unit circle; r (π) = 0$

Referências (2)

Who first used these coordinates, and for what: J. L. Coolidge, "The Origin of Polar Coordinates." The American Mathematical Monthly 59(2), 78–85, 1952.
The logarithmic spiral in shells and horns — the reason polar form is worth the change of variable: D’Arcy W. Thompson, On Growth and Form, Chapter XI: The Equiangular Spiral. Cambridge University Press, 1917.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-27

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Matemática →

Problemas de exemplo

Cardioide - r = 1+cos(θ) encerra numa volta completa A = 4.7124, ou seja 3π/2 — uma vez e meia o círculo unitário
Rosácea (3) - cos(3θ) só precisa de θ até π para fechar as três pétalas, e encerra A = 0.7854 = π/4
Rosácea (8) - cos(4θ) desenha oito pétalas, não quatro — um k par duplica-as — e precisa dos 2π completos para A = 1.5708 = π/2
Limaçon - r = 1+2cos(θ) fica negativo: em θ = π a leitura mostra r = −1.0000 no ponto (1.000, 0.000), e é daí que nasce o laço interior