Crivo de primos e espiral de Ulam

A distribuição precisa dos primos é controlada pelos zeros da função zeta de Riemann ζ(s). Todos os 10¹³ zeros não triviais conhecidos estão sobre a linha crítica Re(s) = 1/2. Provar isso para todos os zeros daria os limites mais precisos possíveis para a contagem de primos — e renderia o Prêmio do Milênio de 1 milhão de dólares. Até 2025, permanece sem prova.

O crivo de Eratóstenes encontra os primos por eliminação, sem testar cada número. Comece no 2, risque todos os seus múltiplos, salte para o próximo número sobrevivente e repita; o que nunca é riscado é primo. O truque engenhoso: para peneirar todos os números até n, basta remover os múltiplos dos primos até √n. Assim, para tudo abaixo de 100 basta riscar os múltiplos de 2, 3, 5 e 7.

Em 1963, o matemático Stanisław Ulam, entediado durante uma palestra, rabiscou os inteiros numa espiral quadrada e sombreou os primos — e surgiram faixas diagonais surpreendentemente nítidas. Essas diagonais seguem fórmulas quadráticas ricas em primos, como o n² + n + 41 de Euler, que produz um primo para cada n de 0 a 39. Por que certas diagonais permanecem tão densas ainda não é totalmente compreendido.