Geometria da Pirâmide

geometria ao estilo do Egito antigo para pirâmides de base quadrada

Valores iniciais — Geometria da Pirâmide

Comprimento do lado da base (s)	230.4
Altura vertical (h)	146.6

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

A carregar a simulação interativa...

O um terço é exato, mas não se prova cortando 🖖

Uma pirâmide contém exatamente um terço do prisma que compartilha sua base e altura — não aproximadamente, exatamente. Em duas dimensões o fato correspondente é fácil de ver: um triângulo é metade do seu retângulo, e você pode demonstrá-lo cortando o retângulo e reorganizando as peças. Em três dimensões esse caminho está fechado. Hilbert perguntou em 1900 se dois sólidos de volume igual podem sempre ser cortados em um número finito de peças e remontados um no outro, e Max Dehn provou em 1901 que não — um tetraedro regular e um cubo de mesmo volume não são alcançáveis um a partir do outro por nenhum conjunto finito de cortes. O fator 1/3 é portanto genuinamente um resultado sobre limites, e é por isso que ele chega com o cálculo e não com uma tesoura.

Dois números definem toda a pirâmide 🖖

Uma pirâmide de base quadrada fica totalmente determinada por apenas duas medidas: o lado da base s e a altura vertical h. Todo o resto decorre de um triângulo retângulo que vai do centro da base ao ponto médio de uma aresta. O apótema da pirâmide é sua hipotenusa, l = √(h² + (s/2)²), e, com l, a superfície e o volume saem na hora. Mude uma entrada e cada resultado é recalculado junto.

Como os egípcios mediam a inclinação ao contrário 🖖

Os antigos egípcios não usavam ângulos. No papiro de Rhind, registravam a inclinação de uma pirâmide como seu seked: o avanço horizontal, em palmos, para cada côvado real (7 palmos) de subida vertical — em essência a cotangente, o inverso da nossa inclinação moderna. O seked da Grande Pirâmide é de cerca de 5½ palmos, dando um ângulo de face próximo de 51,84°. A saída seked desta ferramenta ressuscita essa convenção de 3600 anos.

Problema resolvido na íntegra

Duas coincidências da Grande Pirâmide, resolvidas com um número 6 passos
A Grande Pirâmide: base 230,4 m, altura 146,6 m. Obtenha a altura inclinada, as áreas, o volume e o ângulo da face — e depois resolva as duas famosas coincidências com um único número.
1. A altura inclinada é a hipotenusa do triângulo que vai do centro da base ao ponto médio da aresta e até ao ápice — metade da base, e não a base completa, que é o erro mais comum aqui.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 760.2 = 186.4473 m$
2. A superfície lateral é composta por quatro triângulos, cada um com base s e altura ℓ, pelo que 4 × ½sℓ se reduz a 2sℓ. Adicione a base para obter o total.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. O volume é um terço do prisma, e esse terço não é uma aproximação — é exato para qualquer pirâmide sobre qualquer base.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. O ângulo da face obtém-se dividindo a subida pela metade do avanço. O seked é o seu recíproco, e é com esse número que os construtores realmente trabalhavam.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Compare o seked medido com a fração mais simples próxima dele. Cinco palmos e meio por côvado de sete palmos é 11/14, e coincide com uma precisão de uma parte em oito mil.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Agora derive a razão de π a partir dessa única fração. Não é um facto independente sobre a pirâmide; é 8k, e 8 × 11/14 calha a ficar a 0,04% de 2π.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Resposta

Ambas as coincidências são a mesma coincidência, e trata-se de uma fração de construtor: um seked de 11/14. Os Egípcios não especificavam a inclinação como um ângulo; especificavam quantos palmos de avanço horizontal correspondiam a um côvado de subida, e um côvado são sete palmos. Escolha 5½ palmos e o seked é 11/14 = 0,785714 — contra os 0,785812 que a pirâmide realmente mede. Tudo o resto decorre daqui. O perímetro a dividir pela altura é exatamente 8 vezes o seked, portanto 8 × 11/14 = 6,28571 contra 2π = 6,28319, e a razão entre a altura inclinada e a metade da base resulta em 1,6185 contra φ = 1,618034. Nem π nem φ foram introduzidos. Uma única inclinação racional, escolhida por ser fácil de traçar com uma corda e um fio de prumo, produz ambos até quatro algarismos.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6185 \approx φ$

Referências (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-12

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Problemas de exemplo

exemplo escolar - Exemplo escolar: calcule a altura lateral, a área e o volume.
grande pirâmide - Aproximação em escala da Grande Pirâmide com dimensões reais.
face íngreme - Pirâmide mais íngreme, com maior ângulo de face.
face achatada - Pirâmide mais achatada, com menor ângulo de face.