Explorador de convergência de séries

Observe as somas parciais crescerem. A série converge para um limite finito ou diverge?

Exemplo resolvido — Explorador de convergência de séries

S50	4.499205
Convergência	DIVERGE
Último termo a(50)	0.02
Teste da razão \|a(N)/a(N−1)\|	0.98 (→1, inconclusivo)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Limites de Soma Infinita 🖖

A convergência de séries examina se os termos acumulados se aproximam de um limite finito. A série harmônica diverge, enquanto a geométrica garante limites sob restrições estritas de proporção.

O que é de fato uma soma parcial 🖖

Uma série infinita nunca é somada de uma só vez. Em vez disso, acompanha-se a soma parcial S_N, o total acumulado dos N primeiros termos, e observa-se para onde ele tende à medida que N cresce. No gráfico, se essa curva se achata em direção a uma linha horizontal, a série converge para essa altura; se continua subindo, diverge. Convergência é apenas uma sequência de totais que se estabiliza.

Como a série harmônica empilha blocos 🖖

Empilhe blocos iguais na borda de uma mesa. O do topo pode se projetar além da borda no máximo ½ H_N, metade da N-ésima soma parcial harmônica. Como a série harmônica diverge, esse balanço não tem limite: com blocos suficientes, o do topo fica inteiramente além da borda. Bastam 4 blocos para ultrapassar o comprimento de um bloco inteiro, pois H₄ ≈ 2.08.

TEORIA DE SÉRIES — QUAL TESTE DE CONVERGÊNCIA USAR

Escolher o teste de convergência: case o teste com o formato

Nenhum teste isolado resolve toda série. Cada um é feito para um formato específico do termo geral — razão constante, potência simples de n, fatorial, sinais alternados — e aplicar o errado costuma devolver «inconclusivo» em vez de uma resposta errada. Leia o termo primeiro, reconheça o formato, e o teste se escolhe sozinho.

Teste do termo geral — só consegue provar divergência lim a_n ≠ 0 ⇒ ∑a_n → ∞

Geométrica — razão constante entre os termos Σarⁿ, |r| < 1

Série p — uma potência simples de n embaixo Σ1/n^p, p > 1

Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas L = lim |a_n+1/a_n|

Alternada — o sinal vira a cada termo Σ(−1)ⁿb_n, b_n ↓ 0

Telescópica — o miolo da soma se cancela Σ[f(n) − f(n+1)]

Teste do termo geral — só consegue provar divergência

O termo parece: Qualquer série. Verifique isto primeiro; custa um único limite.

Teste: lim a_n ≠ 0 ⇒ ∑a_n → ∞

Exemplo resolvido: Σ1/n tem aₙ → 0, então o teste não diz nada — e a série diverge mesmo assim.

Abrir este caso: Harmônica

Teste do termo geral — só consegue provar divergência. As somas parciais harmônicas continuam subindo mesmo com os termos individuais sumindo. Qualquer série. Verifique isto primeiro; custa um único limite. — As somas parciais harmônicas continuam subindo mesmo com os termos individuais sumindo.

Geométrica — razão constante entre os termos

O termo parece: Cada termo é um múltiplo fixo do anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, o mesmo r sempre.

Teste: Σarⁿ, |r| < 1

Exemplo resolvido: Σ(1/2)ⁿ tem r = 1/2, então converge — e o total é exatamente a/(1 − r).

Abrir este caso: Geométrica

Geométrica — razão constante entre os termos. Razão constante abaixo de 1: as somas parciais se achatam sobre o limite exato. Cada termo é um múltiplo fixo do anterior: aₙ₊₁/aₙ = r, o mesmo r sempre. — Razão constante abaixo de 1: as somas parciais se achatam sobre o limite exato.

Série p — uma potência simples de n embaixo

O termo parece: O termo é 1/nᵖ e nada mais: sem fatorial, sem sinal alternado.

Teste: Σ1/n^p, p > 1

Exemplo resolvido: 1/n² converge (p = 2); 1/n diverge (p = 1). A fronteira é exatamente p = 1.

Abrir este caso: p-série

Série p — uma potência simples de n embaixo. p = 2 se assenta rápido enquanto p = 1 segue subindo. O limiar é exatamente p = 1. O termo é 1/nᵖ e nada mais: sem fatorial, sem sinal alternado. — p = 2 se assenta rápido enquanto p = 1 segue subindo. O limiar é exatamente p = 1.

Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas

O termo parece: O termo contém n!, cⁿ ou nⁿ. Calcule L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.

Teste: L = lim |a_n+1/a_n|

Exemplo resolvido: Σ1/n! dá L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, então converge — e muito rápido.

Abrir este caso: Série e−1

Teste da razão — fatoriais e potências n-ésimas. 1/n! desaba sobre o seu limite em meia dúzia de termos. O termo contém n!, cⁿ ou nⁿ. Calcule L = lim |aₙ₊₁/aₙ|. — 1/n! desaba sobre o seu limite em meia dúzia de termos.

Alternada — o sinal vira a cada termo

O termo parece: O termo carrega (−1)ⁿ, e os módulos decrescem de forma constante até zero.

Teste: Σ(−1)ⁿb_n, b_n ↓ 0

Exemplo resolvido: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n converge para ln 2, mesmo com Σ1/n divergindo.

Abrir este caso: Harm. alternada

Alternada — o sinal vira a cada termo. As somas parciais passam e ficam aquém alternadamente, fechando sobre o limite. O termo carrega (−1)ⁿ, e os módulos decrescem de forma constante até zero. — As somas parciais passam e ficam aquém alternadamente, fechando sobre o limite.

Telescópica — o miolo da soma se cancela

O termo parece: O termo se parte numa diferença f(n) − f(n+1), em geral por frações parciais.

Teste: Σ[f(n) − f(n+1)]

Exemplo resolvido: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), então Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Abrir este caso: Telescópica

Telescópica — o miolo da soma se cancela. Tudo entre o primeiro e o último termo se cancela, restando Sₙ = 1 − 1/(n+1). O termo se parte numa diferença f(n) − f(n+1), em geral por frações parciais. — Tudo entre o primeiro e o último termo se cancela, restando Sₙ = 1 − 1/(n+1).

Referências (1)

Insight block 3 — the block-stacking overhang, and how far it really goes: J. F. Hall, "Fun with stacking blocks." American Journal of Physics 73(12), 1107–1116, 2005 — including the harmonic single-wide stack and the much larger overhangs multi-wide stacks allow.

Problema resolvido na íntegra

A 50.ª soma parcial de 1 + 1/2 + 1/3 + … 5 passos
A 50.ª soma parcial de 1 + 1/2 + 1/3 + … é 4,499, os termos já desceram para 0,02 e o critério da razão dá 0,98. Tudo no painel parece convergência. Prove que ela diverge — e depois determine até onde teria de ir para alcançar 100.
1. Arrumemos primeiro o critério da razão. Ele compara termos consecutivos e, para 1/n, essa razão é (n − 1)/n, que sobe para 1 a partir de baixo aconteça o que acontecer. O teste devolve inconclusivo, não converge. Uma página que apresentasse 0,98 sem essa palavra seria enganadora por omissão.
  
  $\frac{a _{50}}{a _{49}} = \frac{49}{50} = 0.98 ⟶ 1 (test inconclusive)$
2. A demonstração é de Oresme e tem sete séculos. Agrupe os termos em blocos que terminam em cada potência de dois: 1/3 + 1/4 excede 1/2, os quatro termos seguintes excedem 1/2, os oito seguintes também. Cada bloco contribui com pelo menos metade, e há infinitos blocos.
  
  $n = 1 \sum 2^{m} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{m}{2} ⟹ unbounded$
3. Isso resolve a divergência, mas não dá qualquer taxa, e a taxa é o que torna a divergência credível perante uma soma apresentada de 4,5. Comparar a soma com ∫dx/x fornece uma: as somas parciais acompanham ln n mais uma constante, e essa constante é γ.
  
  $H_{n} = ln n + γ + \frac{1}{2 n} + O (n^{- 2}), γ = 0.5772157$
4. Teste-o. ln 50 + γ = 4,489239 contra os 4,499205 apresentados, e os 0,009967 restantes são o termo seguinte da expansão, 1/2n = 0,01. A aproximação não é apenas próxima; é próxima de uma forma que prevê o seu próprio erro.
  
  $ln 50 + γ = 4.489239, 4.499205 - 4.489239 = 0.009967 \approx \frac{1}{2 \times 50}$
5. Portanto, inverta-a. Uma soma de 10 precisa de cerca de e^(10−γ) ≈ 12 000 termos. Uma soma de 100 precisa de e^(100−γ).
  
  $H_{n} = 100 ⟹ n \approx e^{100 - γ} = 1.5 \times 1 0^{43}$
Resposta

A ferramenta apresenta 4,499205 após 50 termos e classifica a série como divergente, e ambos são verdadeiros ao mesmo tempo — o que constitui toda a dificuldade deste exemplo. A soma cresce como ln n, pelo que acaba por ultrapassar qualquer objetivo finito. Alcançar 10 demora cerca de 12 000 termos; alcançar 100 demora 1,5 × 10⁴³. A divergência é uma afirmação sobre a eternidade, não sobre os próximos milhares de termos, e 1/n é a prova padrão de que essas duas coisas não são a mesma. Mude a série para 1/n² e os mesmos 50 termos fixam-se em 1,625 e ali permanecem: π²/6 é 1,645, e todo o resto infinito vale 0,02.

$H_{50} = 4.499205, H_{n} \sim ln n ⟹ H_{n} = 100 at n \approx 1.5 \times 1 0^{43}$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-26

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Harmônica - S₅₀ = 4.499205 e ainda a subir — os termos descem a 0.02 e a soma diverge na mesma
Basileia (π²/6) - S₅₀ = 1.625133 face a π²/6, ainda a 0.0198 ao fim de cinquenta termos
Série e−1 - S₁₅ = 1.718282, a 5.0404 × 10⁻¹⁴ de e−1 — quinze termos, catorze casas
Harm. alternada - S₅₀ = 0.6832472 → ln 2, e só a 0.0099: mais perto do que Basel com os mesmos cinquenta termos
Geométrica - S₂₀ = 0.999999, erro 9.5367 × 10⁻⁷ — a única predefinição em que o teste da razão decide
Telescópica - S₃₀ = 0.9677419 → 1, erro 0.0323: convergente, mas o teste da razão não o consegue mostrar
p-série - p = 2 dá ζ(2.0) e S₅₀ = 1.625133; baixe p para 1 e a mesma série diverge