Explorador da lei do inverso do quadrado

A força, a irradiância e o fluxo decaem todos como 1/r² — porque se espalham sobre uma esfera cuja área de superfície cresce como 4πr².

Exemplo resolvido — Explorador da lei do inverso do quadrado

G	6.674×10⁻¹¹ Nm²kg⁻²
m₁	5.97×10²⁴ kg
m₂	1 kg
Distância r	6.37×10⁶ m
r²	4.06×10¹³ m²
Área da superfície esférica 4πr²	5.10×10¹⁴ m²

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A Voyager 1 funciona com 22 W — e ainda conseguimos ouvi-la 🖖

A Voyager 1 está agora a ~163 UA do Sol (≈ 2,4 × 10¹³ m). Substituindo isso na fórmula da irradiância: E = 3,828 × 10²⁶ / (4π × (2,4 × 10¹³)²) ≈ 0,051 W/m² — cerca de 26 600 vezes mais fraco que a luz solar na Terra, que é exatamente 163². Painéis solares seriam inúteis. Por isso a Voyager funciona com decaimento radioativo (um gerador termoelétrico de radioisótopos), produzindo cerca de 250 W de eletricidade utilizável. Seu transmissor de rádio emite a 22 W — mais ou menos o que consome uma fita de LED fraca. Quando o sinal chega às antenas da Rede do Espaço Profundo da Terra (com 70 m de diâmetro), a lei do 1/r² já espalhou esses 22 W por uma esfera do tamanho do sistema solar interno. A potência recebida fica em torno de 10⁻¹⁸ W. É por isso que as antenas receptoras precisam ser enormes e por que a NASA precisa resfriar os receptores perto do zero absoluto só para conseguir ouvir o sinal. Mesma lei, mesma geometria — seja a luz do sol aquecendo seu rosto ou o sussurro do artefato mais distante já criado pela humanidade.

Por que o dobro da distância dá um quarto do brilho 🖖

A regra é pura geometria. A energia que sai de uma fonte pontual se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera em expansão, cuja área cresce como 4πr². Ao dobrar a distância, essa mesma energia cobre uma área quatro vezes maior, então a intensidade cai para um quarto, não para a metade. É por isso que você esfria tão rápido ao se afastar de uma fogueira, e por isso esta ferramenta traça gravidade, luz e força elétrica sobre uma mesma curva.

A lei 1/r² é uma impressão digital do espaço 3D 🖖

O expoente não é arbitrário: equivale ao número de dimensões espaciais menos um. Obtemos 1/r² porque a área de uma esfera cresce como r² em três dimensões. Num universo hipotético de 4D, a gravidade decairia como 1/r³, e Paul Ehrenfest mostrou em 1917 que as órbitas planetárias seriam então instáveis — os planetas cairiam na estrela ou escapariam. A existência de sistemas solares estáveis, e de vida, talvez dependa de o espaço ter exatamente três dimensões.

Problema resolvido na íntegra

A única órbita na qual um satélite paira imóvel 5 passos
A Terra atrai 1 kg à sua superfície com 9,82 N. Use apenas isso para encontrar a única órbita na qual um satélite permanece imóvel sobre um ponto do equador. Este é o modo Gravidade com m₁ = 5,972 × 10²⁴ kg, m₂ = 1 kg e r = 6371 km.
1. A lei de Newton com os números inseridos. O que importa para o resto não é o valor de 9,82 N, mas sim o produto GM = 3,986 × 10¹⁴ em unidades do SI, porque a própria massa do satélite está prestes a simplificar-se e a não voltar a aparecer.
  
  $r^{2} = (6.371 \times 1 0^{6})^{2} = 4.06 \times 1 0^{13} m^{2}; F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14} \times 1}{4.06 \times 1 0 ^{13}} = 9.82 N$
2. Uma órbita circular é essa mesma aceleração gravítica, gasta como aceleração centrípeta. Ao igualar as duas, elimina-se a massa em órbita e obtém-se uma única relação entre um raio e uma velocidade angular.
  
  $\frac{GM}{r ^{2}} = ω^{2} r ⟹ r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
3. A velocidade angular é imposta, não escolhida: para permanecer sobre um ponto fixo, o satélite tem de rodar exatamente com a Terra. A Terra dá uma volta em 86 164 s em vez de 86 400 s, porque o dia solar também tem de compensar a distância que a Terra percorreu ao longo da sua órbita. Usar 86 400 coloca a órbita 77 km acima do devido, e um satélite no raio errado não se mantém sobre o seu ponto.
  
  $ω = \frac{2 π}{86 164 s} = 7.292 \times 1 0^{- 5} rad/s, ω^{2} = 5.318 \times 1 0^{- 9} s^{- 2}$
4. Calcule a raiz cúbica. Os 42 163 km são medidos a partir do centro da Terra, pelo que subtraindo os 6371 km já indicados no painel restam cerca de 35 790 km de altitude — os habituais 35 786 km citados correspondem à mesma órbita medida a partir do raio equatorial, que é 7 km maior.
  
  $r^{3} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{5.318 \times 1 0 ^{- 9}} = 7.495 \times 1 0^{22} m^{3} ⟹ r = 4.2163 \times 1 0^{7} m = 42163 km$
5. A gravidade a essa distância obedece à própria lei que esta página representa. O raio aumentou por um fator de 6,62, pelo que o quadrado desse valor indica o quanto a atração se tornou mais fraca.
  
  $(\frac{42 163}{6371})^{2} = 43.8 ⟹ g (r) = \frac{9.82}{43.8} = 0.2242 m/ s^{2}$
Resposta

A ferramenta apresenta 9,82 N sobre 1 kg, para um quadrado da distância de 4,06 × 10¹³ m². O que decorre daqui não é uma altitude escolhida por alguém: 42 163 km é o único raio cujo período orbital coincide com a rotação da Terra, pelo que a órbita geoestacionária é uma solução e não uma opção de projeto. Isso faz da cintura geoestacionária um único círculo de 264 900 km de perímetro, e qualquer satélite que deva permanecer fixo — televisão, meteorologia, a maioria dos retransmissores — tem de se posicionar num ponto desse círculo. Um grau desse círculo corresponde a 736 km, razão pela qual as posições são atribuídas por tratado internacional em vez de serem simplesmente reivindicadas. E a atração a essa distância é 43,8 vezes mais fraca do que aos seus pés, o que corresponde à curva 1/r² desta página acompanhada até seis raios e meio da Terra.

$r_{GEO} = 3 \frac{GM}{ω ^{2}} = 42163 km, 2 π r_{GEO} = 264900 km$

Referências (1)

Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

Todas as lições de Física →

Problemas de exemplo

Superfície terrestre - Gravidade na superfície da Terra (m2=1 kg): F ≈ 9.8 N — isto é, 1 kgf
Órbita lunar - Distância orbital da Lua: 1 kg sente F ≈ 0.0027 N — ≈3600× mais fraca que na superfície
Luz solar na Terra - Luz solar na Terra (1 AU): irradiância ≈ 1361 W/m² — a constante solar
Distância dupla - 2× a distância da Terra: a irradiância cai para ≈ 340 W/m² — exatamente ¼ da constante solar
Prótons - Próton-próton a 1 fm: força de Coulomb ≈ 230 N — deve ser superada pela força forte