Interceção de Mísseis e Navegação Proporcional

Um intercetor em (22, 2) km a voar a 1500 m/s, um alvo em (5, 19) km a voar a 900 m/s num rumo de -14°, e o intercetor lançado diretamente ao longo da linha de visada. Com uma razão de navegação N = 3, que aceleração lateral exige a navegação proporcional no primeiro instante — e por que razão exige sequer alguma coisa, quando o míssil já está apontado exatamente para o alvo?

1. Subtraia as duas posições: 17 km para a esquerda e 17 km para cima. A simetria de 45° é uma dádiva, pois R² resulta em exatamente 578 e todos os passos seguintes dividem por ele.

   $$\vec{r}=(5-22,19-2)=(-17,17)\mathrm{km};R=17\sqrt{2}=24.04\mathrm{km};\lambda =atan2(17,-17)=135.0^{\circ }$$

2. O alvo não está a manobrar nesta interceção, pelo que o seu vetor velocidade nunca muda. Decomponha-o uma vez e reutilize-o.

   $${\vec{v}}_T=900(\cos (-14^{\circ }),\sin (-14^{\circ }))=(873.3,-217.7)m/s$$

3. O intercetor é lançado ao longo da linha de visada, pelo que o seu rumo ψ₀ é também 135°. Subtraia as duas velocidades e obterá o único vetor para o qual a lei de guiamento olha.

   $${\psi }_0=\lambda ⟹{\vec{v}}_I=(-1060.7,1060.7);{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}={\vec{v}}_T-{\vec{v}}_I=(1933.9,-1278.4)m/s$$

4. A velocidade de aproximação é a parte da velocidade relativa que se situa ao longo da linha de visada, com o sinal invertido para que a aproximação conte como positiva. Apenas essa parte encurta a distância.

   $$V_c=-\frac{\vec{r}\cdot {\vec{v}}_{\mathrm{rel}}}{R}=\frac{54.609}{24.0416}=2.2714km/s=2271m/s$$

5. O que resta da velocidade relativa aponta na transversal à linha de visada, e é isso que faz variar a marcação. Divida-o pela distância para obter a taxa. Não é zero — pelo que, apesar da pontaria perfeita, esta não é uma trajetória de colisão.

   $$\dot{\lambda }=\frac{r_x{v}_{\mathrm{rel},y}-r_y{v}_{\mathrm{rel},x}}{R^2}=\frac{21.733-32.877}{578}=-0.0193rad/s=-1.10^{\circ }/\mathrm{s}$$

6. A navegação proporcional multiplica essas duas leituras uma pela outra, escala por N, e chama aceleração ao produto. Nada na lei sabe para onde o alvo se dirige; sabe quão rápido a marcação deriva e quão rápido a distância encurta, e isso é tudo.

   $$a_{\mathrm{cmd}}=N{V}_c\dot{\lambda }=3(2271)(-0.019280)=-131.4m/{\mathrm{s}}^2=13.4g$$

7. Agora obtenha a mesma taxa de uma segunda forma, sem qualquer produto escalar. Decomponha a própria velocidade do alvo na perpendicular à linha de visada.

   $$\hat{p}\perp \vec{r}:{\vec{v}}_T\cdot \hat{p}=900\sin (-14^{\circ }-135^{\circ })=-900\sin 31^{\circ }=-463.5m/s$$

8. O intercetor não contribui em nada na transversal à linha de visada, porque foi lançado ao longo dela. Cada fração dos 463,5 m/s de deriva transversal à marcação pertence ao alvo, e dividir pelos 24 042 m de distância reproduz exatamente o passo 5.

   $${\vec{v}}_I\cdot \hat{p}=0⟹\dot{\lambda }=\frac{{\vec{v}}_{\mathrm{rel}}\cdot \hat{p}}{R}=\frac{-463.5}{24042}=-0.0193rad/s$$