Simulador de Física de Radar

Veja um único pulso de radar disparar à velocidade da luz, ricochetear num alvo e voltar — o seu tempo dá a distância, a sua intensidade a detetabilidade e o seu desvio de frequência a velocidade.

Valores iniciais — Simulador de Física de Radar

Filtro de clutter MTI	off

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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Reduzir o alcance à metade custa uma seção radar 16 vezes menor 🖖

A potência recebida cai como 1/R⁴ — o pulso se espalha na ida e o eco se espalha na volta —, então o alcance de detecção escala com a raiz quarta da seção radar. Essa raiz quarta é brutal nos dois sentidos. Os exemplos de RCS desta ferramenta vão de 0,01 m² para uma aeronave furtiva a 1000 m² para um navio, uma faixa de 100.000, e ainda assim os alcances resultantes diferem apenas por 100000^¼ ≈ 17,8. Contra o caça de 5 m², um projeto furtivo corta a seção 500 vezes e compra uma redução de alcance de apenas 500^¼ ≈ 4,7. Cada nova divisão por dois da distância em que você é visto custa outro fator de dezesseis.

Um eco, três respostas 🖖

O radar emite um único pulso de ondas de rádio e lê o eco que retorna de três formas ao mesmo tempo. O atraso até ele voltar dá a distância (R = c·Δt/2, dividida por dois porque o pulso faz uma viagem de ida e volta); a intensidade do eco indica se o alvo é sequer detectável; e qualquer deslocamento em sua frequência revela a que velocidade o alvo se aproxima ou se afasta. Conclusão: a luz é tão rápida que um alvo a 150 km responde em menos de um milissegundo.

Como um avião pode se esconder na velocidade certa 🖖

O radar MTI (indicação de alvos móveis) rejeita o retorno do terreno ignorando ecos cuja frequência não muda de um pulso para o outro. Mas um alvo voando a uma velocidade cega — onde seu deslocamento Doppler cai num múltiplo exato da PRF — parece congelado entre os pulsos e é filtrado junto com as colinas. Essas velocidades seguem v = n·λ·PRF/2; com λ = 0.1 m e PRF = 1000 Hz a primeira é 50 m/s. Radares reais variam sua PRF para fechar essas lacunas.

Problemas resolvidos na íntegra

Um caça a 90 km de distância com uma secção reta de radar de 5 m² 7 passos
Um caça a 90 km de distância, com uma secção eficaz de radar de 5 m². O equipamento transmite 100 kW a 3 GHz através de uma antena com ganho de 1000, e o seu recetor assinala uma deteção a -120 dBm. Calcule o que regressa e, em seguida, até que distância este radar conseguiria ver se o alvo continuasse a afastar-se.
1. O impulso atravessa a distância duas vezes, pelo que o relógio está a cronometrar 180 km de percurso, e não 90. Divida por dois antes de dividir por c, ou todas as distâncias apresentadas sairão duplicadas: 600 µs aqui.
  
  $Δ t = \frac{2 R}{c} = \frac{2 \times 9 \times 1 0 ^{4}}{3 \times 1 0 ^{8}} = 6 \times 1 0^{- 4} s = 600 μ s$
2. A frequência fixa o comprimento de onda, e o comprimento de onda ganha o seu lugar duas vezes — define a sensibilidade Doppler e define quanto da onda de retorno a parábola consegue captar. A 3 GHz, λ = 0,1 m.
  
  $λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{9}} = 0.1 m$
3. Agora a parte que torna o radar difícil. Na ida, a potência espalha-se sobre uma esfera, pelo que a densidade que chega ao alvo cai como 1/R². O alvo interceta σ disso e reirradia-o, e a potência reirradiada espalha-se também sobre uma esfera — um segundo 1/R² independente. A parábola recolhe então de uma área efetiva A_e = Gλ²/4π.
  
  $S_{t} = \frac{P _{t} G}{4 π R ^{2}}, S_{r} = \frac{S _{t} σ}{4 π R ^{2}}, A_{e} = \frac{G λ ^{2}}{4 π}$
4. Multiplique os três e os fatores R² elevam-se ao quadrado. A potência recebida cai como R⁻⁴, pelo que um eco de radar não é apenas fraco, mas catastroficamente fraco: duplique o alcance e o eco cai por um fator de 16, e não de 4.
  
  $P_{r} = S_{r} A_{e} = \frac{P _{t} G ^{2} λ ^{2} σ}{( 4 π ) ^{3} R ^{4}}$
5. Substitua os números. O numerador é 5×10⁹; o denominador é (4π)³ = 1984 vezes R⁴ = 6,56×10¹⁹, ou seja, 1,30×10²³. O eco é 3,84×10⁻¹⁴ W. Isso são 38 femtowatts a regressar de um transmissor de 100 kW, e a razão entre esses dois é todo o problema.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 5}{1984 \times ( 9 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{5 \times 1 0 ^{9}}{1.30 \times 1 0 ^{23}} = 3.84 \times 1 0^{- 14} W$
6. As potências de radar abrangem 20 ordens de grandeza, pelo que são expressas em dB relativamente a um miliwatt. 3,84×10⁻¹⁴ W é -104 dBm, confortavelmente acima dos -120 dBm de que o recetor necessita.
  
  $10 lo g_{10} (\frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 3}}) = 10 lo g_{10} (3.84 \times 1 0^{- 11}) = - 104 dBm$
7. Essa margem converte-se em alcance, mas não generosamente. Em watts, o eco é 38,4 vezes o limiar, e a potência varia como R⁻⁴, pelo que o alcance só pode crescer pela raiz quarta de 38,4. Isso é 2,489, e 90 km × 2,489 = 224 km.
  
  $\frac{P _{r}}{P _{m i n}} = \frac{3.84 \times 1 0 ^{- 14}}{1 0 ^{- 15}} = 38.4 ⟹ R_{m a x} = 90 \times 38. 4^{1/4} = 90 \times 2.489 = 224 km$
Resposta

224 km — e foi preciso um eco 38 vezes mais forte do que o recetor necessita para lá chegar. Há um segundo limite escondido dentro desse número, e nada no painel o mostra. Um eco de 224 km demora 2 × 224 km / c = 1,49 ms a regressar. Dispare o impulso seguinte mais cedo e o eco atrasado chega depois de um novo impulso já ter saído, e o equipamento não consegue distinguir a que impulso ele pertence — irá reportar um alvo a 224 km como estando próximo. Assim, o alcance de deteção que acabou de deduzir estabelece um limite máximo para a frequência de repetição de impulsos de cerca de 670 Hz. A distância a que um radar consegue ver e a frequência com que pode observar são trocadas entre si apenas pela velocidade da luz, e nenhuma quantidade de potência de transmissão altera essa relação de compromisso.

$\frac{2 R _{m a x}}{c} = 1.49 ms ⟹ PRF < \frac{1}{1.49 ms} = 670 Hz$
Um alvo com σ = 0,01 m² a 70 km 5 passos
O mesmo radar, ainda com 100 kW a 3 GHz, agora a observar um alvo com σ = 0,01 m² a 70 km. Isso é uma secção eficaz de radar 500 vezes menor do que a do caça, e está 20 km mais perto. Determine o eco e, depois, determine quão perto teria de chegar para poder ser visto.
1. Apenas um fator no numerador mudou: 10⁵ × 10⁶ × 10⁻² × 10⁻² = 10⁷. Com R⁴ a 70 km a dar um denominador de 4,76×10²², o eco é 2,1×10⁻¹⁶ W — 0,21 femtowatts.
  
  $P_{r} = \frac{1 0 ^{5} \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 2}}{1984 \times ( 7 \times 1 0 ^{4} ) ^{4}} = \frac{1 0 ^{7}}{4.76 \times 1 0 ^{22}} = 2.1 \times 1 0^{- 16} W$
2. Note como as duas alterações estão mal emparelhadas. A aproximação de 90 km para 70 km multiplica o eco por (90/70)⁴ = 2,73; a secção eficaz divide-o por 500. O ganho de geometria é anulado.
  
  $(\frac{90}{70})^{4} = 2.73 ≪ \frac{5}{0.01} = 500$
3. Em dBm isso é -127, contra um limiar do recetor de -120. O eco está abaixo do limiar, pelo que a 70 km este alvo não existe para o equipamento.
  
  $10 lo g_{10} (2.1 \times 1 0^{- 13}) = - 127 dBm < - 120 dBm$
4. O alcance é a única variável restante. Em watts, o eco fica aquém por um fator de 10⁻¹⁵ / 2,1×10⁻¹⁶ = 4,76, e aumenta como R⁻⁴, pelo que o alcance tem de diminuir pela raiz quarta de 4,76 — um fator de 1,477. 70 km / 1,477 = 47,4 km.
  
  $\frac{P _{m i n}}{P _{r}} = \frac{1 0 ^{- 15}}{2.1 \times 1 0 ^{- 16}} = 4.76 ⟹ R = \frac{70}{4.7 6 ^{1/4}} = \frac{70}{1.477} = 47.4 km$
5. Chegue ao mesmo número a partir da outra extremidade, começando nos 224 km do caça. O alcance de deteção varia com σ elevado à potência 1/4, pelo que dividir σ por 500 divide o alcance por 500 elevado à potência 1/4, que é 4,73. 224 / 4,73 = 47,4 km. Uma única lei, lida em ambas as direções.
  
  $R_{m a x} \propto σ^{1/4} : \frac{224}{50 0 ^{1/4}} = \frac{224}{4.73} = 47.4 km$
Resposta

Reduzir a secção eficaz de radar por 500 garante um fator de 4,73 no alcance de deteção, e essa raiz quarta representa toda a economia da baixa observabilidade. Também define o custo da alternativa. Para colocar este alvo novamente a 224 km recorrendo apenas à potência, é necessário restaurar o produto P_tσ: σ caiu por 500, pelo que P_t tem de subir por 500 — de 100 kW para 50 MW. Esse é o argumento a favor da modelação da forma do alvo em vez de aumentar o radar. No entanto, o expoente cobra ao projetista da forma à mesma taxa: cada redução adicional para metade no alcance de deteção custa outro fator de 16 em σ.

$R_{m a x} \propto (P_{t} σ)^{1/4} ⟹ P_{t} \to 500 \times 100 kW = 50 MW$

Referências (2)

The radar range equation and the R⁴ two-way loss: M. I. Skolnik, Introduction to Radar Systems, 3rd ed., ch. 1–2. McGraw-Hill, 2001. ISBN 978-0-07-288138-7.
MTI, blind speeds and PRF staggering, behind the third block: M. A. Richards, Fundamentals of Radar Signal Processing, 2nd ed., ch. 5. McGraw-Hill, 2014. ISBN 978-0-07-179832-7.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-17

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Problemas de exemplo

Distância
A parede R⁴
Furtivo - Furtivo com RCS=0.01 m² a 120 km — alcance de detecção de apenas 47 km
Doppler