Explorador de Pi por Monte Carlo

O erro de Monte Carlo diminui proporcionalmente a 1/√N, não a 1/N — uma consequência do Teorema Central do Limite, já que a estimativa é uma média de N lançamentos independentes de "dentro/fora", cuja variância cai como 1/N. Essa raiz quadrada sai cara: ganhar mais uma casa decimal correta exige cerca de 100 vezes mais pontos, não 10 — por isso a nuvem de pontos pode parecer convincentemente circular muito antes de as casas decimais deixarem de oscilar. É também por isso que este método raramente é usado na prática só para calcular π — ele compensa em integrais de alta dimensão, onde os métodos determinísticos em grelha escalam exponencialmente com a dimensão, mas a taxa de 1/√N do Monte Carlo não depende do número de dimensões.

O curioso: π é um número fixo e exato e, ainda assim, esta ferramenta o determina usando apenas o acaso. Cada ponto individual cai de forma imprevisível, dentro ou fora do círculo por pura sorte. Mas a média acumulada se comporta — a lei dos grandes números garante que, ao acrescentar pontos, a fração ruidosa se assenta em um valor estável. A lição: o acaso, promediado em massa, torna-se um instrumento de medida confiável.

Muito antes dos pontos na tela, a agulha de Buffon (1777) estimava π deixando cair agulhas sobre linhas igualmente espaçadas — possivelmente o primeiro experimento de Monte Carlo. Em 1901, Mario Lazzarini afirmou que 3,408 lançamentos davam π = 3.1415929, exato até a sexta casa decimal. O detalhe: isso é exatamente 355/113, uma famosa aproximação antiga, e 3,408 é suspeitosamente o número preciso de arremessos necessário para acertá-lo — quase com certeza ele parou no instante em que o acaso coincidiu com o alvo.