Explorador de Pi por Monte Carlo

pontos aleatórios e comportamento de convergência

Exemplo resolvido — Explorador de Pi por Monte Carlo

Erro absoluto	∣3.122000−3.141593∣≈1.959×10⁻²

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por que o erro diminui tão devagar 🖖

O erro de Monte Carlo diminui proporcionalmente a 1/√N, não a 1/N — uma consequência do Teorema Central do Limite, já que a estimativa é uma média de N lançamentos independentes de "dentro/fora", cuja variância cai como 1/N. Essa raiz quadrada sai cara: ganhar mais uma casa decimal correta exige cerca de 100 vezes mais pontos, não 10 — por isso a nuvem de pontos pode parecer convincentemente circular muito antes de as casas decimais deixarem de oscilar. É também por isso que este método raramente é usado na prática só para calcular π — ele compensa em integrais de alta dimensão, onde os métodos determinísticos em grelha escalam exponencialmente com a dimensão, mas a taxa de 1/√N do Monte Carlo não depende do número de dimensões.

um valor fixo a partir do puro acaso 🖖

O curioso: π é um número fixo e exato e, ainda assim, esta ferramenta o determina usando apenas o acaso. Cada ponto individual cai de forma imprevisível, dentro ou fora do círculo por pura sorte. Mas a média acumulada se comporta — a lei dos grandes números garante que, ao acrescentar pontos, a fração ruidosa se assenta em um valor estável. A lição: o acaso, promediado em massa, torna-se um instrumento de medida confiável.

a agulha que trapaceou 🖖

Muito antes dos pontos na tela, a agulha de Buffon (1777) estimava π deixando cair agulhas sobre linhas igualmente espaçadas — possivelmente o primeiro experimento de Monte Carlo. Em 1901, Mario Lazzarini afirmou que 3,408 lançamentos davam π = 3.1415929, exato até a sexta casa decimal. O detalhe: isso é exatamente 355/113, uma famosa aproximação antiga, e 3,408 é suspeitosamente o número preciso de arremessos necessário para acertá-lo — quase com certeza ele parou no instante em que o acaso coincidiu com o alvo.

Problema resolvido na íntegra

Avaliação de se 3,122 é uma má execução a partir de 2000 pontos 5 passos
3,122 é uma má execução? O estado predefinido gera N = 2000 pontos a partir da semente 42, e 1561 deles caem dentro do quarto de círculo. Calcule qual teria sido uma contagem normal antes de julgar a estimativa.
1. Cada ponto é uma tentativa que tem sucesso se cair no quarto de disco, e como o quadrado envolvente tem área 1, a probabilidade de sucesso é diretamente essa área. Ao longo de 2000 tentativas independentes, a contagem é binomial, e a média de uma distribuição binomial é o número de tentativas multiplicado pela probabilidade.
  
  $p = \frac{π /4}{1} = 0.7853982, E [N_{in}] = N p = 2000 \times 0.7853982 = 1570.80$
2. Estes mesmos dois números determinam a dispersão. A contagem observada fica a menos de dez unidades do valor esperado, o que é escassamente meio desvio padrão, pelo que esta semente é comum — algo que convém estabelecer antes de lhe atribuir qualquer culpa.
  
  $σ_{N_{in}} = N p (1 - p) = 337.10 = 18.360, z = \frac{1561 - 1570.80}{18.360} = - 0.534$
3. A estimativa é a contagem multiplicada por uma constante fixa, pelo que o seu desvio padrão é o da contagem multiplicado por essa mesma constante. É aqui que entra o bem conhecido 1/√N: a dispersão da contagem cresce como √N, enquanto a divisão é feita por N.
  
  $\overset{π}{^} = \frac{4 N _{in}}{N} ⟹ σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4}{N} σ_{N_{in}} = \frac{4 \times 18.360}{2000} = 0.036720$
4. O erro apresentado tem de corresponder aos mesmos 0,53 desvios padrão, porque multiplicar por uma constante não pode deslocar um valor em relação à sua própria dispersão. Trata-se de um único facto expresso em duas unidades, e não de dois factos.
  
  $∣ \overset{π}{^} - π ∣ = ∣ 3.122000 - 3.141593 ∣ = 0.019593 = 0.534 σ_{\overset{π}{^}}$
5. Agora a parte que nenhuma semente consegue corrigir. Quatro vezes um inteiro sobre 2000 é sempre um múltiplo de 0,002, e π é irracional, pelo que nunca coincide com nenhum desses valores — o erro não pode chegar a zero, e o ponto mais próximo em que o estimador pode fisicamente aterrar fica a um passo da grelha.
  
  $\overset{π}{^} \in \frac{4}{2000} Z = 0.002 Z : k min \frac{4 k}{2000} - π = ∣ 3.142 - 3.141593 ∣ = 4.073 \times 1 0^{- 4}$
Resposta

A ferramenta apresenta 1561 pontos no interior, uma estimativa de 3,122000 e um erro de 1,959 × 10⁻² em relação a 3,141593. Um erro típico para N = 2000 é 0,0367, pelo que esta execução é melhor do que a média, e não pior, e cerca de três em cada cinco sementes teriam um desempenho pior do que a 42. O limite inferior do passo 5 é 4,073 × 10⁻⁴: nenhuma semente com este N o consegue superar, porque nada do que a fórmula pode produzir se situa mais próximo de π do que isso. É 90 vezes menor do que o erro típico, pelo que a grelha não é de todo o fator limitante, e a diferença aumenta com N em vez de diminuir — o limite inferior diminui como 1/N enquanto o erro aleatório diminui apenas como 1/√N. Isso esclarece também uma afirmação com que se cruzará sobre este método: seis casas decimais corretas a partir de um par de milhares de tentativas não é uma execução de sorte, mas sim aritmeticamente inalcançável, uma vez que para N = 2000 nada do que o estimador produz é correto sequer até à quarta casa decimal.

$σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4 p ( 1 - p )}{N} = \frac{1.6422}{N} vs δ_{m i n} \leq \frac{2}{N}$

Referências (1)

Lazzarini's 3,408 tosses and why 355/113 gave him away: L. Badger, "Lazzarini's Lucky Approximation of π." Mathematics Magazine 67(2), 83–91, 1994.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

N pequeno - Uma amostra pequena gera uma estimativa de alta variância.
N médio - 1.561 dos 2.000 pontos caem dentro do quarto de círculo, pelo que a estimativa é 3,122000 e o erro é 1,959×10⁻². A semente é fixa, logo são os mesmos 1.561 sempre que pressionar isto. O que se move no gráfico de erro é a estabilização da estimativa à medida que os pontos se acumulam, não a ferramenta a lançar os dados novamente.
N grande - Uma amostra maior aproxima a estimativa de pi.