Simulador de Teoria das Filas (M/M/1)

taxas de chegada/atendimento e estabilidade da fila

Exemplo resolvido — Simulador de Teoria das Filas (M/M/1)

L (no sistema)	3.000
Lq (na fila)	2.250
W (espera, sistema)	1.000
Wq (espera, fila)	0.750
Utilização (ρ)	0.750

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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o precipício de rho 🖖

L = ρ/(1−ρ) não cresce de forma suave — tem uma assíntota vertical em ρ = 1, então, à medida que a utilização sobe de 90% para 99%, o comprimento médio da fila salta de 9 para 99 pessoas, e bem na capacidade máxima torna-se ilimitado. É o 'precipício de rho': uma fila com 80% de utilização parece quase igual a uma com 85%, mas leve-a a 95% e os tempos de espera disparam, porque W = 1/(μ−λ) tem a mesma singularidade — é o denominador que se aproxima de zero, não o numerador que cresce. É por isso que sistemas reais, como centrais de atendimento e prontos-socorros hospitalares, são deliberadamente superdimensionados bem abaixo de 100% da capacidade: essa folga ociosa 'desperdiçada' perto do topo é justamente o que os mantém longe do precipício.

é o acaso que forma a fila 🖖

Em M/M/1, os dois M significam "markoviano": as chegadas ocorrem ao acaso (Poisson) e os tempos de serviço variam ao acaso (exponencial), com um único servidor. A ideia central surpreende — uma fila pode se formar mesmo quando o servidor é em média mais rápido do que os clientes chegam. Se todos chegassem como um relógio e cada tarefa durasse o mesmo, um servidor com folga nunca formaria fila. A espera vem da variabilidade, não da sobrecarga. Ponha λ bem abaixo de μ e ainda assim uma fila surge e some.

a lei de Little quase nada exige 🖖

Os valores L e W aqui apresentados não são independentes: satisfazem L = λW e, de igual modo, Lq = λWq. Esta identidade quase não exige pressupostos. Em 1961, John Little provou a sua validade para qualquer fila estável em regime estacionário, sejam quais forem as distribuições de chegada ou serviço. Não importa a quantidade de servidores. Não interessa a ordem pela qual os clientes são chamados. A mesma relação governa uma enfermaria, o trabalho em curso de uma fábrica e o inventário de uma loja: a quantidade média presente é igual à taxa de chegada multiplicada pelo tempo médio de permanência.

Problema resolvido na íntegra

Uma fila com 3 chegadas por hora e um aumento de 20% 5 passos
Os clientes chegam a 3 por hora e o servidor atende 4 por hora. O servidor fica inativo um quarto do tempo, o que parece confortável. Calcule a fila de espera que isso produz — e depois o que um aumento de 20% nas chegadas lhe faz.
1. A cadeia equilibra-se: a taxa de entrada em cada estado é igual à taxa de saída, o que dá Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ — uma distribuição geométrica sobre o comprimento da fila, sendo ρ a fração de tempo em que o servidor está ocupado. Aqui, ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. A média dessa distribuição é ρ/(1 − ρ). Observe o que está no denominador: não a capacidade de reserva em clientes por hora, mas a fração livre. Três pessoas no sistema, em média, para um servidor inativo durante um quarto do dia.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Subtraia a pessoa que está a ser atendida — presente com probabilidade ρ — e restam 2,25 em espera.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. A Lei de Little converte uma população num tempo e não necessita de qualquer hipótese sobre a distribuição: o número médio no sistema é a taxa de chegada multiplicada pelo tempo médio passado nele. Uma hora no sistema, 45 minutos da qual na fila, para uma tarefa que demora 15 minutos a ser executada.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Agora aumente λ para 3,6. A utilização passa de 0,75 para 0,90 — mais 20% de trabalho — e ρ/(1 − ρ) passa de 3 para 9.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Resposta

A ferramenta apresenta L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 a 75% de utilização. A lição é o denominador de ρ/(1 − ρ): o que determina a fila não é quanta capacidade de reserva se tem, mas quanto se tem de sobra como fração, e essa fração é o que se gasta quando se adiciona carga. Vinte por cento a mais de chegadas triplica a fila. Outros 10% adicionais — ρ = 0,99 — tornam-na em 99. É por isso que hospitais, autoestradas e controladores de disco colapsam com utilizações elevadas em vez de se degradarem suavemente, e por que motivo "estamos apenas a 90% da capacidade" não é o alívio que parece.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$

Referências (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

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Problemas de exemplo

carga leve - Baixa utilização mantém a fila e o atraso pequenos.
carga pesada - λ = 3,8 contra μ = 4: o servidor fica ocioso uma unidade de tempo em vinte, e ainda há em média 19,000 clientes no sistema, 18,050 deles na fila em vez de em atendimento, aguardando 5,000 unidades de tempo para passar. Aumente λ num décimo e L, Lq e W quase dobram. É a atração da assíntota em ρ = 1.
instável - Utilização acima de 1 torna a fila instável.