Simulador de Teoria das Filas (M/M/1)

L = ρ/(1−ρ) não cresce de forma suave — tem uma assíntota vertical em ρ = 1, então, à medida que a utilização sobe de 90% para 99%, o comprimento médio da fila salta de 9 para 99 pessoas, e bem na capacidade máxima torna-se ilimitado. É o 'precipício de rho': uma fila com 80% de utilização parece quase igual a uma com 85%, mas leve-a a 95% e os tempos de espera disparam, porque W = 1/(μ−λ) tem a mesma singularidade — é o denominador que se aproxima de zero, não o numerador que cresce. É por isso que sistemas reais, como centrais de atendimento e prontos-socorros hospitalares, são deliberadamente superdimensionados bem abaixo de 100% da capacidade: essa folga ociosa 'desperdiçada' perto do topo é justamente o que os mantém longe do precipício.

Em M/M/1, os dois M significam "markoviano": as chegadas ocorrem ao acaso (Poisson) e os tempos de serviço variam ao acaso (exponencial), com um único servidor. A ideia central surpreende — uma fila pode se formar mesmo quando o servidor é em média mais rápido do que os clientes chegam. Se todos chegassem como um relógio e cada tarefa durasse o mesmo, um servidor com folga nunca formaria fila. A espera vem da variabilidade, não da sobrecarga. Ponha λ bem abaixo de μ e ainda assim uma fila surge e some.

Os L e W mostrados aqui não são independentes — satisfazem L = λW, e também Lq = λWq. O surpreendente é o quão pouco essa identidade pressupõe: John Little provou em 1961 que ela vale para praticamente qualquer fila estável em estado estacionário, quaisquer que sejam as distribuições de chegada e de serviço, o número de servidores e a ordem de atendimento. A mesma relação rege uma enfermaria, o trabalho em processo de uma fábrica e o estoque de uma loja: conteúdo médio igual à taxa de chegada vezes o tempo médio dentro.